基于Excel的QR二维码生成工具——原理及算法详解(之一）

老虎二维码（下载链接在这里）是一个基于Excel的二维码生成工具，完全使用Excel表单公式结合VBA实现，没有调用任何外部库，实现了支持中文英文混合字符以及常用微信二维码编码的自动生成，在工作表单元格中填充二维码，并可以保存为图片复制到剪贴板中。

老虎二维码工具从编码构造、RS码计算一直到QR码的填充全部都通过VBA或工作表函数实现的。为了完成这个工具，花了两个月的时间研究了QR Specification，尤其是里德所罗门算法生成RS纠错码的算法，终于实现了Excel中的生成算法。由于在研究的过程中发现很难找到一份详细完整的资料，能够将二维码尤其是RS码的计算算法讲清楚，因此决定写几篇文章，详细介绍基于Excel的二维码编码算法，并且尽量提供更多的干货，以便后来的同好共同学习

先从RS纠错码开始吧！

RS纠错码可以说是QR码编码过程中至关重要的关键，但是这部分关键的内容在QR Specifications以及后来的GB18284-2000中都语焉不详地一笔带过，网上找过很多大神写的文章同样对这个神秘的RS码也是讳莫如深，更加增添了它的神秘感。因此，我特意将这部分内容放在整篇文章之首，就是为了让大家更快地了解这个RS码的Excel计算算法的实现过程

在开始之前，我必须说，对于RS码计算的基础，也就是群论等高深的数学知识，其实我也没有搞懂，但是感谢网络上提供各种知识片段的大神们，让我能够经过不懈努力拼凑出了整个算法的全貌

首先，RS码的计算不是在我们所熟悉的有理数域上实现的，而是在一个名为“伽罗华域”的奇怪的域上进行的，这里简单介绍一下域的概念：如果一个数的集合，且这个集合上定义了+和X两种运算，如果这个集合中的元素对“+”运算和“X”运算都满足交换律，而且“X”运算对“+”运算满足结合律，那么就将这个集合以及两种运算称为一个域。打个比方说，所有的整数以及运算加法和乘法就是一个域，称为整数域，同样，有理数的加法和乘法也是一个域，称为有理数域。而且他们都是封闭域，因为他们的计算结果仍然在域内：

• $1+2=3$，1和2都属于整数，运算结果3也属于整数
• $2.5*3.6=9$，2.5和3.6都在有理数域内，运算结果9也在有理数域内

用来计算RS码的“伽罗华域”就是一个符合以上定义的域，同样也是封闭域，但是这个域跟有理数或整数域有一个非常大的不同的性质，那就是这是一个有限域。也就是说，伽罗华域不像是整数和有理数域，它的元素是有限的，比如伽罗华域$GF（2^8）$只有255个元素，但是这255个元素中任意两个在这个域上定义的运算法则下（它也有加法与乘法）的计算结果也永远在这255个元素以内，比如：

伽罗华域$GF（2^8）$内的元素为：$\{1,2,4……，142\}$

其中：

• 32*254=91，32和254都在$GF(2^8)$内，乘法运算结果91也在$GF(2^8)$内
• 120+57=65，120和57都在$GF(2^8)$内，加法运算结果65也在GF（2^8）内

伽罗华域的上述性质让它在密码计算领域非常受重视，而且得到非常广泛的应用。同样，QR码也利用了伽罗华域的这个性质，不错！RS的计算其实就是密码计算！

为了计算RS纠错码，通常的资料上都说，使用数据码多项式对生成多项式求余，得到的余数多项式就是纠错码，而这里所涉及的所有多项式计算，都是在伽罗华域$GF2^8$上进行的。

因此，计算RS码的第一步就是求出$GF2^8$的所有元素来。这一步我是利用Excel工作表函数实现的，这样同样比较可视化

从QR Specification（GB18284-2000）中我们知道，用于计算QR码的多项式是在以多项式:

$$x^8+x^4+x^3+x^2+1=0$$

为模的伽罗华域$GF(2^8)$上生成的。怎么理解呢？简单说来，我们首先知道$GF(2^8)$共有255个元素，而且这些元素全部都可以写成一个元素$a$的幂次的形式，元素$a$是一个假想出来的元素，称为伽罗华域的本原元素，简称“本原元”，而所有的元素都是$a$的幂次形式，具体来说，$GF(2^8)$的元素包括：

$$a^0 , a^1, a^2, ..., a^{254} ,$$

这所有的元素如果写成二进制，则刚好可以表示成多项式的形式，多项式的每一项的指数数表示二进制数的位数，而多项式的系数（1或0）则表示该位上的数字，如下面的多项式

$$x^8+x^4+x^3+x^2+1=0$$
表示的数字就为：
$$100011101$$
从左到右分别是这个二进制数的第8位、第7位依次到第0位。多项式指数为8的项系数为1，二进制数的第8位就为1，依次下来第4,3,2位都为1，多项式指数为4,3,2的三项同样为1.指数为0时，该项为1，其他所有位的数字为0。所以这个多项式就表示了这样一个二进制数。
了解以上定义后，还需要知道，在伽罗华域上定义了加法和乘法两种运算：

• 加法运算：定义为两个元素的异或运算
• 乘法运算：定义为两个元素的x的幂次相加并

因此，GF（2^8）上的元素就可以计算为：

$$a^0 = 1$$ $$a^1 = a$$ $$a^2 = a^2$$ $$...$$ $$a^8 = a^8 = a^4+a^3+a^2+1$$
上式是因为 $a^8+a^4+a^3+a^2+1=0$，根据异或运算的规则，有 $a^8=a^4+a^3+a^2+1$，接下来还可以继续计算 $a^9$：
$$a^9 = a^8 *a =a^5+a^4+a^3+a$$ $$...$$ $$a^{12} = a^8+a^7+a^6+a^4 = a^4+a^3+a^2+1+a^7+a^6+a^4=a^7+a^6+a^3+a^2+1$$
注意到了么，上面式子里 $a^4$项出现两次，因此根据异或运算法则相消了。按照上面的式子以此类推就可以计算出所有 $GF(2^8)$中的元素，而且可以验算，从 $a^{255}$开始，结果就开始重复了。这些元素的多项式按照前面所述的规则表示为二进制数，就是 $GF(2^8)$中元素的值了。如：
$$a^{12} = a^7+a^6+a^3+a^2+1$$ $$->$$ $$(11001101)_2 = (205)_{10}$$

255个元素当然不可能全手工计算，在Excel中，我使用了下面的工作表函数来计算出所有的元素值:

具体的工作表函数很简单，我就不一一列出了，这样可以很快计算出$GF(2^8)$的所有元素：

$$\{1,2,4,8,16,32,64,128,29,58,116,232,\ldots,173,71,142\}$$

到这里，我们已经计算出了伽罗华域的所有元素，在下篇文章中，我们将探讨RS纠错码的计算，生成多项式的计算等内容