抽样定理

抽样定理

如果想要对模拟信号用数字信号处理系统处理，就必须将模拟信号转换为数字信号，并且也要保证在转变过程原信号的特征不丢失。在这里，就需要对模拟信号进行抽样，使其变为离散时间信号

理想抽样

现有一带限信号¹ $f(t)$,最高频率为 $f_m$,现对该信号进行抽样.

我们选取一系列的冲击函数 $\delta(t-nT_s)$对 $f(t)$进行抽样,其中T_s为抽样间隔

$f_{after}(t)=f(t)\cdot \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(t-nT_s)$

根据Fourier时域相乘的性质,时域相乘,频域卷积.其中 $\omega_s= \frac{2\pi}{T_s}$
$F_{ater}(\omega)=\frac{1}{2\pi}F(\omega)*\omega_s \sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(\omega-n\Omega_s)$
根据冲击函数 $\delta(t)$的性质
$f(t)*\delta(t-t_0)=f(t-t_0)$
不难看出卷积后的结果就是将 $F(\omega)$搬移n个 $\Omega_s$长度
$F_{after}(\omega)=\frac{1}{T_s}\sum_{n=-\infty}^{\infty}F(\omega-n\omega_s)$

因为取样后离散时间信号要包括原信号的所有信息,所以要求 $F(\omega)$不能与其他搬运后的图像 $F(\omega-n\omega_s),n\neq 0$ 相交,故极限情况为

由上图不难得出抽样间隔T_s所需满足的条件
$\omega_s\geq 2\omega_m \\ f_s\geq 2 f_m$
当抽样间隔满足上述条件时,抽样后的频谱不会混叠,也因此具备了还原原信号的可能.

从频域上看,原信号 $f(t)$的频域表示仍完整的保存了下来,事实上,截取任意一个周期内的图像都能还原 $f(t)$.所以在这里,我们可以制作一个低通滤波器来过滤多余的波形,只留下一个周期内的图像
$H(\omega)=T_s g_{2\omega_m}(\omega)$

抽样信号与低通滤波器相作用后
$F_{rec}(\omega)=F_{atfer}\cdot H(\omega) \\ =F(\omega)$

根据Fourier频域相乘,时域卷积的性质可知
$f_{rec}(t)=f_{after}(t)*h(t)$
其中 $h(t)=\frac{\omega_m T_s}{\pi} Sa(\omega_m t)$

实际上,时域恢复的过程中,在每一个抽样点处叠加了一个加权的抽样函数,抽样函数相加最终重构了原信号.

实际抽样

由于在现实中无法实现一个 $\delta(t)$函数,往往是一个具有一定宽度的门函数,因此实际抽样与理想抽样仍有一点区别.

若采用门函数序列抽样,抽样间隔为T_s,此时抽样函数 $s(t)$的频谱为
$S(\omega)=\frac{2\pi\tau}{T_s}\sum_{n=-\infty}^{\infty} Sa(\frac{n\omega_s\tau}{2})\delta(\omega-n\omega_s)$
抽样后频谱
$F_{after}(\omega)=\frac{\tau}{T_s}\sum_{n=-\infty}^\infty Sa(\frac{n\omega_s\tau}{2}) F(\omega-n\omega_s)$
若单纯使用低通滤波器保留n=0时频率分量,则有
$F_{rec}(\omega)=F_{after}(\omega)\cdot g_{2\omega_m}(\omega) \\ =\frac{\tau}{T_s}F(\omega)$
故在还原信号时使用的低通滤波器还应当添加增益 $\frac{\tau}{T_s}$

带通信号抽样

对于带通信号来说，其截至频率远远大于带宽，如果我们仍按照抽样定理来计算采样频率，进行频谱搬移时大部分都是空的，信号频谱只占其中很小一部分.
因此带通信号的抽样频率为
$2\Delta f_o \leq f_s < 4\Delta f_o$

非带限信号抽样

由于非带限信号不存在最高截止频率,所以对非带限制信号的抽样势必导致频谱的混叠,所以在这里,我们通常人工设定一个最高频率 $\omega_m$,并忽略原信号中高于 $\omega_m$的频率.这个频率的选择通常认为是能保留原信号能量的90%及以上.

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1. 存在最高上限频率 $\omega_m$,即对于 $\forall \omega > \omega_m$,信号在 $\omega$处的频率分量都为0 ↩︎