题目描述
Nancy喜欢做游戏!
汉诺塔是一个神奇的游戏,神奇在哪里呢?
给出3根柱子,最开始时n个盘子按照大小被置于最左的柱子。
如果盘子数为偶数,则需要将她们全部移动到最右侧的柱子上,否则将她们移动到中间的柱子上。
那么,Nancy该怎样移动呢?请你输出汉诺塔游戏的过程叭!
输入描述:
共一行:一个整数n
一不小心拿了个运行时间最快qwq(8ms)(截至2020-01-26)
在别的题解中看到用二进制来解汉诺塔问题这个视频,又看大多数人都是用递归写的,便想试一试二进制做法。这个视频说的就是汉诺塔与二进制的关系(从视频的第6分钟开始)。
我对这个视频的大致理解就是,在二进制中,比如想从0000加到1111,那就要先加111到0111,再加1得1000,再加11到1111,这与汉诺塔的递归策略很相似,想移动n个盘必须先用f[n-1]步移动n-1个到第二个柱,再用1步把第n个移到第三个柱,最后再用f[n-1]步移动n-1个到第三个柱,这显然是最优解,没有任何步数的浪费(其实这就得出了汉诺塔的递推式:f[n]=f[n-1]*2+1)。
所以,我们完全可以通过枚举二进制来模拟汉诺塔的移动,如有n个盘,那我们就要从1枚举到2^n-1(其实n盘汉诺塔的最少移动次数f[n]就等于2^n-1),对于每个数,我们看它最后一个1在第几位,如在第num位,就把编号为n的盘向右移动到下一个可行的柱子(柱子3的下一个柱子是柱子1)上。你想操作第n位,必须等第n位是最后一位,也就是要把后面的1消除,这与汉诺塔的最优解规律是一致的:如果你想移动第n个盘,必须等这个盘子上没有其他盘,也就是移去上面的盘,所以这种移动的二进制规律肯定是最优解。
掌握了这个思路,接下来就是耐心考虑怎么输出图案了qwq
#include<math.h>
#include<string>
#include<iostream>
using namespace std;
int t[3][12],count[3],n,m,width;
//t[i][j]存储第i号柱的第j层的盘的编号(柱从0开始编号),count是柱上的盘子数,width=2*n+1,即最大盘的宽度
int order[6]= {0,1,2,0,1,2},number[11];
//order是塔的顺序,由于要向右移动到下一个可行的柱子上,柱子编号超过2要回到编号0,number[i]是编号为i的盘所在的柱子
string _begin,_str,str;
//_begin是每组图形的开头部分,_str是“...|.....|.....|...”,str用于输出每行的实际情况
inline void print() {
for (int floor=n,pos,len;floor;floor--){//从第n层向下依次输出
str=_str;//初始化为“...|.....|.....|...”
for (int i=0;i<3;i++){//画上每个柱此层的盘子
if (count[i]>=floor){//如果有盘子
len=2*t[i][floor]+1;//盘子宽
pos=width*i+i+1+(width-len)/2;//画盘子的起始位置,width最大盘的宽度,即柱子间的距离,注意柱子间还会多空出一位
for (int j=pos+1;j<=pos+len;j++)
str[j-1]='*';//画上盘子,由于是字符串,j减1
}
}
cout<<str<<"\n";
}
}
int main() {
ios::sync_with_stdio(false);
cin>>n,m=6*n+7;//m是行的长度
for (int i=1; i<=n; i++) t[0][i]=n-i+1;
count[0]=n;//把n个盘放在第0个柱上
for (int i=0; i<m; i++) _begin+='.',_str+='.';
width=2*n+1;
_str[width/2+1]=_str[width+2+width/2]=_str[width*2+3+width/2]='|';//画上中间的“|”
_begin+="\n"+_str+"\n";
cout<<_begin;
//这里的begin是“...................”,第一行没有“-------------------”
print();//输出第一组图形
string tmp;
for (int i=0; i<m; i++) tmp+='-';
_begin=tmp+"\n"+_begin;
//这里的begin是“------------------- ...................”两行
for (register int i=1,lim=(1<<n); i<lim; i++) {//从1枚举到2^n-1
int num=log2(i&-i)+1,_number=number[num];//i&-i是最后一位1加上后面的0所表示的数,用log2求出它的二进制位数,num即是要移动的盘子编号,_number是此盘所在柱子
cout<<_begin;
for (int j=1,k; j<3; j++) {//寻找移动到哪一个柱子上
k=order[_number+j];//k是柱子的编号
if (t[k][count[k]]>num || !count[k]) {//如果柱上最后一个盘大于num或柱上没有盘,则可行
number[num]=k,t[k][++count[k]]=num;
count[_number]--;//移动盘子,更新信息
break;
}
}
print();
}
}
如果各位大佬有更好的理解或想法,欢迎提出改进和建议qwq!