[总结]最短路径算法

所谓最短路径问题是指:如果从图中某一顶点(源点)到达另一顶点(终点)的路径可能不止一条,如何找到一条路径使得沿此路径上各边的权值总和(称为路径长度)达到最小。

下面我们介绍两种比较常用的求最短路径算法:

Dijkstra(迪杰斯特拉)算法

迪杰斯特拉算法思想是按路径长度递增的次序一步一步并入来求取,是贪心算法的一个应用,用来解决单源点到其余顶点的最短路径问题。另外,要注意D算法是无法解决负权重问题的,所以图的权重必须为正。
首先,我们引入一个辅助向量\(D\),它的每个分量\(D[i]\)表示当前找到的从起始节点\(v\)到终点节点\(v_i\)的最短路径的长度。它的初始态为:若从节点\(v\)到节点\(v_i\)有弧,则\(D[i]\)为弧上的权值,否则\(D[i]\)\(∞\),显然,长度为\(D[j] = Min{D[i] | v_i ∈V}\)的路径就是从\(v\)出发最短的一条路径,路径为\((v, v_i)\)
那么,下一条长度次短的最短路径是哪一条呢?假设次短路径的终点是\(v_k\),则可想而知,这条路径或者是\((v, v_k)\)或者是\((v, v_j, v_k)\)。它的长度或者是从\(v\)\(v_k\)的弧上的权值,或者是\(D[j]\)与从\(v_j\)\(v_k\)的权值之和。

一般情况下,假设\(S\)为已知求得的最短路径的终点集合,则可证明:一条最短路径(设其终点为\(x\))或者是弧\((v, x)\)或者是中间只经过\(S\)中的顶点而最后到达顶点\(x\)的路径。这可用反证法来证明,假设此路径上有一个顶点不在\(S\)中,则说明存在一条终点不在\(S\)中而长度比此路径短的路径。但是这是不可能的。因为,我们是按路径长度的递增次序来产生个最短路径的,故长度比此路径短的所有路径均已产生,他们的终点必定在\(S\)集合中,即假设不成立。

因此,Dijkstra算法描述如下:
假设存在\(G=<V,E>\),源顶点为\(V_0\)\(S={V_0}\),\(distance[i]\)记录\(V_0\)\(i\)的最短距离,\(matrix[i][j]\)记录从\(i\)\(j\)的边的权值,即两点之间的距离。
1)从\(V-S\)中选择使\(dist[i]\)值最小的顶点\(i\),将\(i\)加入到\(U\)中;
2)更新与\(i\)直接相邻顶点的dist值。\(dist[j]=min{dist[j],dist[i]+matrix[i][j]}\)
3)直到\(S=V\),所有顶点都包含进来了,算法停止。

图使用邻接矩阵存储,python代码如下:

# _*_ encoding:utf-8 _*_
# 辅助信息
# 图中的顶点数
V = 7
# 标记数组:used[v]值为False说明改顶点还没有访问过,在S中,否则在U中!
used = [False for _ in range(V)]
# 距离数组:distance[i]表示从源点s到i的最短距离,distance[s]=0
distance = [float('inf') for _ in range(V)]
# cost[u][v]表示边e=(u,v)的权值,不存在时设为INF
cost = [[float('inf') for _ in range(V)] for _ in range(V)]


def dijkstra(s):
    distance[s] = 0
    while True:
        # v在这里相当于是一个哨兵,对包含起点s做统一处理!
        v = -1
        # 从未使用过的顶点中选择一个距离最小的顶点
        for u in range(V):
            if not used[u] and (v == -1 or distance[u] < distance[v]):
                v = u
        if v == -1:
            # 说明所有顶点都维护到S中了!
            break

        # 将选定的顶点加入到S中, 同时进行距离更新
        used[v] = True
        # 更新U中各个顶点到起点s的距离。之所以更新U中顶点的距离,是由于上一步中确定了k是求出最短路径的顶点,从而可以利用k来更新其它顶点的距离;例如,(s,v)的距离可能大于(s,k)+(k,v)的距离。
        for u in range(V):
            distance[u] = min(distance[u], distance[v] + cost[v][u])


if __name__ == '__main__':
    for _ in range(12):
        v, u, w = list(map(int, input().split()))
        cost[v][u] = w
    s = int(input('请输入一个起始点:'))
    dijkstra(s)
    print(distance)

Floyd(弗洛伊德)算法

Floyd算法是一个经典的动态规划算法。是解决任意两点间的最短路径(称为多源最短路径问题)的一种算法,可以正确处理有向图或无向图或负权(但不可存在负权回路)的最短路径问题,同时也被用于计算有向图的传递闭包。
从任意节点\(i\)到任意节点\(j\)的最短路径不外乎2种可能:1)直接从节点\(i\)到节点\(j\),2)从节点\(i\)经过若干个节点\(k\)到节点\(j\)。所以,我们假设\(arcs(i,j)\)为节点\(i\)到节点\(j\)的最短路径的距离,对于每一个节点\(k\),我们检查\(arcs(i,k) + arcs(k,j) < arcs(i,j)\)是否成立,如果成立,证明从节点\(i\)到节点\(k\)再到节点\(j\)的路径比节点\(i\)直接到节点\(j\)的路径短,我们便设置\(arcs(i,j) = arcs(i,k) + arcs(k,j)\),这样一来,当我们遍历完所有节点\(k\)\(arcs(i,j)\)中记录的便是节点\(i\)到节点\(j\)的最短路径的距离。

图使用邻接矩阵存储,python代码如下:

# _*_ encoding:utf-8 _*_
# 辅助信息
# 图中的顶点数
n = 4
# 距离数组:distance[i]表示从源点s到i的最短距离,distance[s]=0
matrix = [[float('inf') for j in range(n)] for i in range(n)]

def floyd(matrix,n):
    for i in range(n):
        for j in range(n):
            for k in range(n):
                matrix[j][k] = min(matrix[j][k], matrix[j][i] + matrix[i][k])
    return matrix


if __name__ == '__main__':
    matrix[0][1] = 3
    matrix[1][2] = 1
    matrix[2][3] = 1
    matrix[1][3] = 4
    for i in range(n):
        matrix[i][i] = 0
    res = floyd(matrix,n)
    print(res)

参考:
Python实现迪杰斯特拉算法
最短路径问题:Dijkstra与Floyd算法

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转载自www.cnblogs.com/hellojamest/p/12234648.html
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