似然，似然，似是而然！

似然，似然，似是而然！

1.1 似然是蛤？

在统计学中，似然和概率可是两码事。
 概率：在已知的模型下，某事件发生的可能性。
 似然：在未知的模型下，发生了一系列的事件，有这些事件的结果去估计该未知模型的相关参数（条件）。
 举一个小例子可能会更形象。现在我有一枚标准的硬币，我将它抛在了空中，这时我想知道它落地时是正面朝上的可能性是多少？毫无疑问，因为该硬币是标准的，正面和反面朝上的概率是~~ 五五开~~（卢老爷警告）50%。而似然就是，现在我拿到的硬币可能不在是标准的，有可能正面比反面重也有可能是相反的情况，我将这个硬币抛了一千次，发现有700次是正面朝上，300次是反面朝上。那么我可以估计这枚硬币不是标准的硬币，这枚非标准的硬币的随意一抛正面朝上的概率（参数）估计为0.7(标准硬币
的参数为0.5)。
总的来说：概率就是在已知模型下，对可能发生的救国进行描述。似然就是通过已经得到的结果发生该结果的模型进行描述。

1.2 似然函数又是蛤？

  概率密度函数： $P ( x|\theta )$
 似然函数: $L ( \theta | x )$
  在x和 $\theta$相互对应时，两个函数的数值是相等。但两个函数所表示的含义是完全不同的。似然函数是给定参数的情况下，发生已知结果x的可能性。
  同样还是硬币为例子进行说明。加入我抛了五次的硬币，产生了一个确切的结果即正正反正反，现在我们根据这个硬币的性质假设抛出为正的概率为 $\theta$（即设置了该硬币的相关参数值为 $\theta$），那么 出现这一结果（正正反正反）的可能性就是 $\theta$ $\theta$(1- $\theta$) $\theta$(1- $\theta$) ,这个可能性的值就是似然函数的值。

1.3似然函数到最大似然估计

  还是延续上文的硬币的例子。理论上来讲我想知道一枚未知硬币的参数，我得抛无数次，但是我时间有限，我只抛了五次就想估计一下这枚硬币的参数。根据我们得到的似然函数值即 $\theta ^ { 3 } ( 1 - \theta) ^ { 2 }$，随着 $\theta$的取值不同，其函数值也不同。当 $\theta$=0.2时，似然函数值为0.00512，当 $\theta$=0.3时，其函数值为0.01323。显然后者的似然函数值大于前者，故如果硬币的参数是0.3与参数是0.2相比，更有可能获得我们已知的五次实验结果，故估计参数为0.3更靠谱。

 显然存在一个 $\theta$=0.6使得函数值取最大值，即当估计此硬币的参数为 $\theta$=0.6（正面朝上）时，出现正正反正反这种情形的可能性最大。所以根据这五次的实验，我们对此硬币的参数能做出的最好的估计就是0.6。当然五次实验的数据得出的估计是难以说服人的，所以当做了五万次实验得出的估计是更接近真实的参数的。
  最大似然估计就是利用你手头得到的结果数据，从而对总体的参数做一个最靠谱的估计。

1.4 最大似然估计的一般套路：

根据概率分布、统计的结果写出似然函数。对似然函数取对数（连乘变连加）。求导，一阶导数为0。解方程。做结论。