遍历二叉树的操作定义、遍历算法实现、层次遍历

树在计算机领域应用广泛，尤以二叉树最为常用。如在操作系统中，用树来表示文件目录的组织结构，在编译系统中，用树来表示源程序的语法结构，在数据库系统中，数结构也是信息的重要组织形式之一。本文仅是本人学习二叉树遍历的学习记录，希望以此对树结构有深刻的理解。

注：四、五两部分用到的栈和队列的操作请看：

循环队列的基本操作

顺序栈的相关操作

遍历二叉树分三种：先序遍历二叉树（根左右）、中序遍历二叉树（左根右）、后序遍历二叉树（左右根）。

一、三种遍历方式的操作定义

1、先序遍历二叉树的操作定义：
若二叉树为空，则空操作；否则
1）访问根结点；
2）先序遍历左子树；
3）先序遍历右子树；

2、中序遍历二叉树操作定义：
若二叉树为空，则空操作；否则
1）中序遍历左子树；
2）访问根结点；
3）中序遍历右子树。

3、后序遍历二叉树操作定义：
若二叉树为空，则空操作；否则
1）后序遍历左子树；
2）后序遍历右子树；
3）访问根结点。

用二叉树表示算术表达式：

先序序列：-+ab-cd/ef(前缀表示（波兰式)）
中序遍历：a+bc-d-e/f(中缀表示)
后序遍历：abcd-*+ef/-(后缀表示（逆波兰式）)

前缀表达式就是先进行符号运算，也叫波兰表示
中缀表达式就是我们平时所用的标准四则运算表达式
后缀表达式是一种不需要括号的后缀表达法，也称为逆波兰表示
利用二叉树可以将中缀表示转化为后缀表示。

二、根据遍历序列确定二叉树

• 若二叉树中各结点的值均不相同，则二叉树结点的先序序列、中序序列和后序序列都是唯一的
• 有二叉树的先序序列和中序序列，或由二叉树的后序序列和中序序列可以确定唯一 一颗二叉树
  后序遍历，根结点必在后序序列尾部，所以先找到根:A,然后判断哪些在左子树上，哪些在右子树上，然后找到左子树的根：B，以此类推找根结点
  

但根据先序序列和后序序列无法确定二叉树

三、遍历的算法实现

1)先序遍历（根左右）

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Status PreOrderTraverse(BiTree T){
if(T==NULL)
	return OK;//空二叉树
else{
	visit(T);//访问根结点，例如输出根节点cout<<T->data;
	PreOrderTraverse(T->lchild);//递归遍历左子树
	PreOrderTraverse(T->rchild);//递归遍历右子树

执行过程：设主程序为Pre(T)

void Pre(BiTree *T){
if(T!=NULL){
	printf("%d\t",T->data);
	pre(T->lchild);
	pre(T->rchild);
	}
}	

2)中序遍历（左根右）

void InOrderTraverse(BiTree T)
{
	if(T)	//二叉树非空
	{
		InOrderTraverse(T->lchild);//递归遍历左子树
		visit(T);//访问根结点，或写做cout<<T->data;
		InOrderTraverse(T->rchild);//递归遍历右子树
	}
}

3）后序遍历(左右根)

Status PostOrderTraverse(BITree T)
{
	if(T){
		PostOrderTraverse(T->lchild);
		PostOrderTraverse(T->rchild);
		cout<<T->data;
	}
}

从虚线的出发点到终点的路径上，每个结点经过3次。
第一次经过时访问=先序遍历
第二次经过时访问=中序遍历
第三次经过时访问=后序遍历
时间复杂度O(n)//每个结点只访问一次
空间复杂度S(n)//栈占用的最大辅助空间。

四、中序遍历非递归算法（用栈实现）

二叉树中序遍历的非递归算法的关键：在中序遍历过某结点的整个左子树后，如何找到该结点根以及右子树。
基本思想：
（1）建立一个栈
（2）根结点进栈，遍历左子树，为空则根结点出栈。
（3）根结点出栈，输出根结点，遍历右子树。

Status InOrderTraverse(BiTree T)
{
	BiTree p;
	InitStack(S);
	p=T;
	while(p||!StackEmpty(S))
	{
	if(p)
	{
		Push(S,p);
		p=p->lchild;
	}
	else
	{
		Pop(S,q);
		cout<<q->data;
		p=p->rchild;
		
	}
	return OK;
  }
}

五、二叉树的层次遍历（队列实现）

对于一棵二叉树，从根结点开始，按从上到下、从左到右的顺序访问每一个结点，每个结点仅访问一次。

算法设计思路：使用一个队列
1、将根结点进队；
2、队不空时循环：从队列中出队一个结点*p,访问它；

• 若它有左孩子结点，将左孩子结点进队
• 若它有右孩子结点，将右孩子结点进队

也就是出队一个元素后，将它的左右孩子入队。

使用队列类型定义如下：

typedef struct{
	BTNode data[MaxSize];//存放队中元素
	int front,rear;   //队头和队尾指针
	}SqQueue;  //顺序循环队列类型 

二叉树层次遍历算法

void LevelOrder(BTNode *b)
{
	BTNode *p;
	SqQueue *qu;
	InitQueue(qu);	//初始化队列
	enQueue(qu,b);	//根结点指针进入队列
	while(!QueueEmpty(qu))	//队不为空，则循环
	{
		deQueue(qu,p);	//出对结点p
		cout<<p->data;	//访问结点p
		if(p->lchild!=NULL)
			enQueue(qu,p->lchild);//有左孩子时将其进队
		if(p->rchild!=NULL)
			enQueue(qu,p->rchild);//有右孩子时将其进队
				
	}
}
//所有元素出队后，程序结束

内容参考：《数据结构》严蔚敏