十一、图论

11.1 图的基本概念

图是一种网状的数据结构，其中的结点之间的关系是任意的，即图中任何两个结点之间都可能直接相关。
顶点：图中的数据元素。设它的集合用V(Vertex)表示。
边：顶点之间的关系的集合用E(edge)来表示:
顶点的度：连接顶点的边的数量称为该顶点的度。顶点的度在有向图和无向图中具有不同的表示。
- 对于无向图，一个顶点V的度比较简单，其是连接该顶点的边的数量，记为D(V)。
- 对于有向图要稍复杂些，根据连接顶点V的边的方向性，一个顶点的度有入度和出度之分。
  - 入度是以该顶点为端点的入边数量，记为ID(V)。
  - 出度是以该顶点为端点的出边数量，记为OD(V)。
无向图(Undigraph)：若图中任意$<v_1,v_2>\in E$必能推导出$<v2,v1> \in E$，此时的图称为无向图。
- 无向图用无序对$(v_1,v_2)$，表示$v_1$和$v_2$之间的一条双向边(Edge)。
有向图(Digraph)：如果图中 $v_1,v_2 \in V$，若存在$<v_1,v_2> \in E$，而 $<v_2,v_1>\notin E$ 此时的图称为有向图
- 有向图用有序对$<v_1,v_2>$，表示$v_1$和$v_2$之间的一条单向边(Edge)。
无向完全图：如果在一个无向图中， 任意两个顶点之间都存在一条双向边，那么这种图结构称为无向完全图
- 理论上可以证明，对于一个包含N个顶点的无向完全图，其总边数为N(N-1)/2。
有向完全图：如果在一个有向图中，任意两个顶点之间都存在方向相反的两条边，那么这种图结构称为有向完全图。
- 理论上可以证明，对于一个包含N的顶点的有向完全图，其总的边数为N(N-1)。这是无向完全图的两倍，这个也很好理解，因为每两个顶点之间需要两条边。
有向无环图（DAG图）
- 如果一个有向图无法从某个顶点出发经过若干条边回到该点，则这个图是一个有向无环图。
- 树型有向图一定是一个有向无环图。
自环和平行边：对于节点与节点之间存在两种边，这两种边相对比较特殊
- 自环边(self-loop)：节点自身的边，自己指向自己。
  
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- 平行边（parallel-edges）：两个节点之间存在多个边相连接，也叫重边。
简单图 ( Simple Graph)：不存在自环和重边的图叫简单图。
路径、简单路径、回路：
- 路径：无向图中从一个节点到达另一个节点所经过的节点序列
- 简单路径：路径中的各顶点不重复的路径。
- 回路：路径上的第一个顶点和最后一个顶点重合，这样的路径叫做回路。
- 下图箭头表示路径
连通图与连通分量
- 连通图：无向图 G 中，若对任意两点，从顶点 $V_i$ 到顶点 $V_j$ 有路径，则称 $V_i$ 和 $V_j $ 是连通的，图 G 是一连通图。
- 连通分量：无向图 G 的连通子图称为 G 的连通分量
  - 任何连通图的连通分量只有一个，即其自身，而非连通的无向图有多个连通分量
  - 以下图为例，总共有四个连通分量，分别是：ABCD、E、FG、HI。
强连通图与强连通分量
- 强连通图：有向图 G 中，若对任意两点，从顶点$ V_i$ 到顶点 $V_j $ ，都存在从 $V_i $到 $V_j $ 以及从$ V_j$ 到 $V_i$ 的路径，则称 G 是强连通图
- 强连通分量：有向图 G 的强连通子图称为 G 的强连通分量。
  - 强连通图只有一个强连通分量，即其自身，非强连通的有向图有多个强连通分量。
  - 以下图为例，总共有三个强连通分量，分别是：abe、fg、cdh 。

11.2 图的存储

11.2.1 邻接矩阵

设图G有$n (n\geq1)$ 个顶点，则邻接矩阵是一个n阶方阵。
当矩阵中的 [i,j] !=0（下标从1开始） ,代表其对应的第i个顶点与第j个顶点是连接的。
邻接矩阵的特点：
1. 无向图的邻接矩阵是对称矩阵，n个顶点的无向图需要n*(n+1)/2个空间大小。
2. 有向图的邻接矩阵不一定对称，n个顶点的有向图需要$n^2$的存储空间。
3. 无向图中第i行的非零元素的个数为顶点$V_i$ 的度。
4. 有向图中第i行的非零元素的个数为顶点 $V_i$ 的出度，第i 列的非零元素的个数为顶点 $V_i $ 的入度。
5. 一般情况下，空间复杂度为 $O(N^2)$。

11.2.2 邻接表（边表）

把数组与链表相结合的存储方法称为邻接表。邻接表为图 G 中的每一个顶点建立一个单链表，每条链表的结点元素为与该顶点连接的顶点。
邻接表的处理办法：
1. 顶点用一个一维指针数组存储（较容易读取顶点信息），作为表头，每个数据元素还需要存储指向第一个邻接点的指针，以便于查找该顶点的边信息（更多情况下，表头不需要保存其他信息，因此可以直接定义一个结点类型的指针数组）。
2. 每个顶点的所有邻接点构成一个链表。
3. 空间复杂度为 $O(V+E)$，$V$ 表示结点个数，$E$ 表示边数。
无向图的邻接表结构

上图中 data 是数据域，存储顶点 u 的信息；firstedge 是指针域，指向与结点 u 相连的第一个结点，即此顶点的第一个邻接点。

边表结点由 adjvex 和 next 两个域组成。adjvex 是邻接点域，存储某顶点 u 的邻接点在顶点 v，next 则存储指向邻接表中下一个结点的指针，如果不存在下一个结点（即没有边），则指针为 NULL。
有向图的邻接表和逆邻接表：

有向图由于有方向，我们是以顶点为弧尾来存储邻接表的，这样很容易就可以得到每个顶点的出度。但也有时为了便于确定顶点的入度或以顶点为弧头的弧，我们可以建立一个有向图的逆邻接表，即对每个顶点 u 都建立一个链接为 u 为弧头的表。
对于带权值的网图，可以在边表结点定义中再增加一个weight的数据域，存储权值信息即可。

邻接表创建代码——链表（动态建点）：

/*
 * 向邻接表中添加一条边，从 from 到 to，权值为 w
 * next 为指向与 from 相邻的下一个结点（另一条边）的指针
 */
struct Edge { // 保存链表中的每个结点
    int from, to, w; // 通常 from 可以不用，因为表头表示了边的起点编号
    Edge* next;
};
Edge* head[MAXN]; // 全局变量，定义表头指针数组，大小为结点个数，初始值为 NULL

void AddEdge(int from, int to, int w) {
    Edge* p = new Edge; // 新建一个结点，并将信息进行赋值
    p->from = from;
    p->to = to;
    p->w = w;
    p->next = head[from]; // 先将该结点的 next 指向表头指向的结点
    head[from] = p; // 更改表头的指向，即可将新结点串进来
}

邻接表创建代码——前向星（数组实现）：

/*
 * 向邻接表中添加一条边，从 from 到 to，权值为 w
 * next 为保存与 from 相邻的下一个结点（另一条边）在数组中的位置
 */
struct Edge { // 保存链表中的每个结点
    int from, to, w; // 通常 from 可以不用，因为表头表示了边的起点编号
    int next;
};
int head[MAXN]; // 定义表头指针数组，大小为结点个数，初始值为 -1
int tot = 0; // 记录总边数，同时也表示新加的边在数组中的下标
Edge e[MAXM]; // 定义边数组，如果是无向图，大小为给出边数的 2 倍

void AddEdge(int from, int to, int w) {
    e[tot].from = from; // 将信息赋值到 tot 对应的位置
    e[tot].to = to;
    e[tot].w = w;
    e[tot].next = head[from]; // 更新新加结点的 next 指向
    head[from] = tot; // 更新表头的指向
    tot++; // 边数加 1，也作为下一条边的放入的位置
}

邻接表创建代码——vector 实现：

/*
 * 向邻接表中添加一条边，从 from 到 to，权值为 w
 */
struct Edge { // 保存链表中的每个结点
    int from, to, w; // 通常 from 可以不用，因为表头表示了边的起点编号
    Edge(){} // 不带参的构造函数
    Edge(int x, int y, int z) { // 带参构造函数，后面使用方便
        from = x; to = y; w = z;
    }
};

vector<Edge> e[MAXN]; // 定义 vector 数组，大小为结点个数，其中的每一个 vector 模拟一个链表
void AddEdge(int from, int to, int w) {
    e[from].push_back(Edge(from, to, w)); // 将新结点加入到 from 对应的链表
}

注意：如果要保存的图是无向图，则需要双向加边，例如添加一条边 (from, to, w)，则需要调用函数 AddEdge(from, to, w); AddEdge(to, from, w); 否则只需要调用一次。

11.2.3 遍历某个结点的邻接点

通常我们需要将与某个结点相邻的所有结点遍历一遍，针对图的不同的存储方式，遍历的方式也不相同。

邻接矩阵存储的遍历

// 输出与结点 u 相邻的所有结点，简单明了，不解释
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
    if (g[u][i] != -1) { // 假设我们用 -1 表示 u 与 i 之间没有边
        printf("%d ", i);
    }
}

邻接表存储的遍历

这种存图的方式是我们常用的，所以一定要熟练掌握。根据上面给出的不同的构建方法，给出示例代码来输出结点 u 的所有邻接点编号。

链表（指针实现）：

// 从表头开始，访问完一个邻接点后，通过 next 调到下一个邻接点
for (Edge* p = head[u]; p != NULL; p = p->next) {
    printf("%d ", p->to);
}

前向星（数组实现）：

// 从表头开始，访问完一个邻接点后，通过 next 调到下一个邻接点
for (int i = head[u]; i != -1; i = e[i].next) {
    printf("%d ", e[i].to);
}

vector 实现：

// 从表头开始，访问完一个邻接点后，通过 next 调到下一个邻接点
int gs = e[u].size();
for (int i = 0; i < gs; ++i) {
    printf("%d ", e[i].to);
}

11.3 图的遍历

从图中某一顶点出发访遍图中其余顶点，且使每一个顶点仅被访问一次，这一过程就叫做图的遍历。
根据遍历路径的不同，通常有两种遍历图的方法：深度优先遍历和广度优先遍历。

11.3.1 深度优先遍历

深度优先遍历(Depth_First_Search)也称为深度优先搜索，简称为DFS。
它是从图中某个顶点v出发，访问此顶点，然后从v的未被访问的邻接点出发深度优先遍历图，直至图中所有和v有路径相通的顶点都被访问到。
对于非连通图，只需要对它的连通分量分别进行深度优先遍历即可。接下来我们以一个示例演示图的深度优先遍历。如下图所示：
1. 在开始进行遍历之前，我们还要准备一个数组，用来记录已经访问过的元素。其中0代表未访问，1代表已访问，如下所示：
1. 假设我们是在走迷宫，A是入口，每次都向右手边前进。首先从A走到B，结果如下：
2. B之后有三个路，我们依然选择最右边，如此下去，直到走到F，如下所示：
3. 到达F后，如果我们继续按照向右走的原则，就会再次访问A，但A 已访问，则访问另一个邻接点G，如下所示：
4. 到达G后，可以发现B和D都走过了，这时候走到H，如下所示：
5. 到达H后，H 的邻接点都已访问过了，所以我们从H退回到上层节点G，发现G,F,E 的邻接点全部已经访问过了，直到退回到D时，发现 I 还没走过，于是访问顶点 I，如下所示：
6. 同理，访问 I 之后，发现与 I 连通的顶点都访问过了，所以再向前回退，直到回到顶点A，发现全部顶点都访问过了，至此遍历完毕。

下面给出的深度优先遍历的参考程序，假设图以邻接表存储（其他情况自己处理即可）

void dfs(int i) { //邻接表存储图，访问点 i
    visited[i] = true; //标记为已经访问过
    for (Edge* p = head[i]; p != NULL; p = p->next) { // 深度优先遍历 i 的所有邻接点
        if (!visited[p->to]) {
            dfs(p->to);
        }
    }
}
// 假设全局变量已经定义好了
int main() {
    memset(visited, false, sizeof(visited));
    // 如果是有向图，必须用循环才能保证所有的结点都遍历到
    // 如果是连通的无向图，从任一结点开始即可
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        if (!visited[i]) {
            dfs(i);
        }
    }
    return 0;
}

11.3.2 广度优先搜索

广度优先遍历并不常用，从编程复杂度的角度考虑，通常采用的是深度优先遍历。

深度优先遍历可以认为是纵向遍历图，而广度优先遍历（Breadth_First_Search）则是横向进行遍历。还以上图为例，不过为了方便查看，我们把上图调整为如下样式：

我们依然以 A 为起点，把和 A 邻接的 B 和 F 放在第二层，把和 B、F 邻接的 C、I、G、E 放在第三层，剩下的放在第四层。

广度优先遍历就是从上到下一层一层进行遍历，这和树的层序遍历很像。我们依然借助一个队列来完成遍历过程，因为和树的层序遍历很像，这里只展示结果，如下所示：

广度优先遍历和广搜 BFS 相似，因此使用广度优先遍历一张图并不需要掌握什么新的知识，在原有的广度优先搜索的基础上，做一点小小的修改，就成了广度优先遍历算法。

void bfs(int s) { //邻接表存储图，访问点 s
    queue<int> que;
    visited[s] = true; // 将起点 s 标记并放到队列
    que.push(s);
    
    while (!que.empty()) { // 
        int now = que.front();
        printf("%d ", now);
        for (Edge* p = head[now]; p != NULL; p = p->next) { // 广度优先遍历邻接点
            if (!visited[p->to]) {
                que.push(p->to); // 找到未被访问过的邻接点加入队列，并标记
                visited[p->to] = true;
            }
        }
    }
}

// 假设全局变量已经定义好了
int main() {
    memset(visited, false, sizeof(visited));
    // 如果是有向图，必须用循环才能保证所有的结点都遍历到
    // 如果是连通的无向图，从任一结点开始即可
    for (int i = 1; i <= n; ++i) {
        if (!visited[i]) {
            bfs(i);
        }
    }
    return 0;
}

11.4 欧拉路

11.4.1 基本概念

如果一个图存在一笔画，则一笔画的路径叫做欧拉路，如果最后又回到起点，那这个路径叫做欧拉回路。
欧拉图：存在欧拉回路的图称作欧拉图。
半欧拉图：存在欧拉路径但不存在欧拉回路的图称作半欧拉图。
欧拉图、半欧拉图的判定
1. 无向图
  - 奇点：跟这个点相连的边数目有奇数个的点。对于能够一笔画的图，我们有以下两个定理。
  - 定理1：无向图 G 为欧拉图，当且仅当 G 为连通图，且所有顶点度为偶数，即奇点为零。
  - 定理2：无向图 G 为半欧拉图，当且仅当 G 为连通图，且除了两个顶点的度为奇数外，其它顶点度为偶数，即存在两个奇点。
  - 半欧拉图的欧拉路径起点必须是一个奇点，终点是另一个奇点，欧拉图任一点均可成为起点。
  - 两个定理的正确性是显而易见的，既然每条边都要经过一次，那么对于欧拉路，除了起点和终点外，每个点如果进入了一次，显然一定要出去一次，显然是偶点。
  - 对于欧拉回路，每个点进入和出去次数一定都是相等的，显然没有奇点。
2. 有向图
  - 基图：忽略有向图所有边的方向，得到的无向图称为该有向图的基图。
  - 定理1：有向图 G 为欧拉图，当且仅当 G 的基图连通，且所有顶点的入度等于出度。
  - 定理2：有向图 G 为半欧拉图，当且仅当 G 的基图连通，且存在顶点 u 的入度比出度大 1 ，v 的入度比出度小 1 ,其它所有顶点的入度等于出度。

11.4.2 Hierholzer 算法

一个无向图如果存在欧拉路经，那么我们如何遍历才能找到一条欧拉路经呢？
假设上图我们其中一种走法是：我们从点 4 开始，一笔划到达了点 5，形成路径4-5-2-3-6-5。此时我们把这条路径去掉，则剩下三条边，2-4-1-2 可以一笔画出。显然上面走法不是欧拉路
我们用 + 代表入栈，-代表出栈，把刚才的路经重新描述一下：
- 4+ 5+ 2+ 3+ 6+ 5+ 5- 6- 3- 1+ 4+ 2+ 2- 4- 1- 2- 5- 4-
- 把所有出栈的记录连接起来，得到5-6-3-2-4-1-2-5-4
- 我们把上面的出栈序列倒序输出，正好是一个从 4 开始到 5 结束的一条欧拉回路。

算法实现：

#include <cstdio>
#include <cstring>
const int maxn = 500 + 5,maxe=2*1024+5;//无向图一定注意边数要翻倍
struct Node{//节点定义
    int to,next;
}a[maxe];//存储边
int Head[maxn],len=0;//len记录边数,Head[u]表示以u为起点的边在边表中的编号。
int Path[maxe],cnt=0;//记录回路的节点，每条边要访问一次所以点数=边数+1
bool vis[maxe];//记录边是否已访问
void Insert(int x,int y){//边表的建立x起点，y为终点
    a[len].to=y;a[len].next=Head[x];Head[x]=len++;
}//要用位运算标记无向图的正反两条边，所以边的编号从0开始。
void Dfs(int u){//递归的最大深度为边数，当边数较大时容易爆栈，可以改为非递归
    for(int i=Head[u];i!=-1;i=a[i].next){
        if(vis[i])continue;//第i条边已访问
        vis[i]=vis[i^1]=1;//i是i^1的反向边，把这两条边设为已访问
        Head[u]=i;//优化，前面的边已经走过了，没有必要每次从最后一个位置往前找了
        int v=a[i].to;Dfs(v);//从第i条边的终点深搜
        i=Head[u];//优化，有可能v的子树中也更新过了u的共点边
    }
    Path[++cnt]=u;//u回溯时记录路径经过点u
}
void Euler(int u){////递归的最大深度为边数，当边数较大时容易爆栈，可以改为非递归
    std::stack<int> q;
    q.push(u);//把起点u进栈
    while(!q.empty()){
        int i,x=q.top();
        for(i=Head[x];i!=-1 && vis[i];i=a[i].next);
        //跳出循环时i==-1或第i条边已访问即vis[i]=1
        if(i==-1){//说明x已不存在未访问的邻接边
            Path[++cnt]=x;q.pop();
        }
        else{//说明第i条未访问
            q.push(a[i].to);//第i条边的去边进栈
            vis[i]=vis[i^1]=1;//标记第i条边及其反向边
            Head[x]=a[i].next;//指向下一条未访问过的邻接边
        }
    }
}
void Solve(){
    int m;scanf("%d",&m);
    memset(Head,-1,sizeof(Head));//边的编号从0开始，所以要初始化为-1
    for(int i=1;i<=m;++i){
        int x,y;scanf("%d%d",&x,&y);
        Insert(x,y);Insert(y,x);//无向图要加双向，有向图只加一遍
    }
    Dfs(1);//欧拉图随便一个点都可以作为源点
    for(int i=cnt;i>0;--i)//逆序输出路径
        printf("%d\n",Path[i]);
}
int main(){
    Solve();
    return 0;
}

11.5 最短路

最短路径问题是图的又一个比较典型的应用问题。例如，某一地区的一个公路网，给定了该网内的n个城市以及这些城市之间的相通公路的距离，能否找到城市A到城市B之间一条距离最近的通路呢？
如果将城市用点表示，城市间的公路用边表示，公路的长度作为边的权值，那么，这个问题就可归结为在网中，求点A到点B的所有路径中边的权值之和最短的那一条路径。
这条路径就是两点之间的最短路径，并称路径上的第一个顶点为源点(Sourse)，最后一个顶点为终点(Destination)。

11.5.1 迪杰斯特拉(Dijkstra)

迪杰斯特拉(Dijkstra)算法是典型最短路径算法，用于计算一个节点到其他节点的最短路径。
它的主要特点是以起始点为中心向外层层扩展(广度优先搜索思想)，直到扩展到终点为止。

11.5.1.1 算法思路

通过Dijkstra 计算图G中的最短路径时，需要指定起点 s (即从顶点s开始计算)。
引入两个集合(S , U)，S 集合包含已求出的最短路径的点（以及相应的最短长度），U 集合包含未求出最短路径的点。
操作步骤：
1. 初始时，S只包含起点 s；U包含除 s 外的其他顶点，且U中顶点的距离为：起点 s 到该顶点的距离(s的邻接点的距离为边权，其他点为∞)
2. 从U中选出距离源点 s 最短的顶点 k ，并将顶点 k 加入到 S 中；同时，从U中移除顶点 k 。
3. 松弛操作：利用 k 更新U中各个顶点到起点 s 的距离。
4. 重复步骤 2) 和 3) ，直到遍历完所有顶点。
图解

代码实现

#include <cstdio>
#include <cstring>
const int maxn = 100 + 5,Inf=0x3f3f3f3f;//两个Inf相加不会超int
int n,a[maxn][maxn],dis[maxn],path[maxn];//dis[i]表示i到源点的最短距离,path[i]记录路径
void Dijs(int s){//源点s
    bool f[maxn];memset(f,0,sizeof(f));//f[i]表示i到源点s的最短距离已求出
    f[s]=1;//源点进确定集合
    for(int i=1;i<=n;++i){//除邻接点外，其他点离源点距离初始化为Inf
        if(a[s][i]){
            dis[i]=a[s][i];path[i]=s;
        }
        else dis[i]=Inf;
    }
    dis[s]=0;path[s]=s;//源点s到自己的距离为0
    for(int i=1;i<n;++i){//每次能确定一个点到源点的最短路，n-1次能求出所有
        int Min=Inf,k=0;//每次从不在确定集合的点中找出离源点最近的点
        for(int j=1;j<=n;++j){
            if(!f[j] && Min>dis[j]){
                Min=dis[j];k=j;//k记录最近的点
            }
        }
        f[k]=1;//k到源点距离已确定，进集合
        for(int j=1;j<=n;++j)//经过k进行松弛操作
            if(a[k][j] && dis[j]>dis[k]+a[k][j]){
                dis[j]=dis[k]+a[k][j];path[j]=k;
            }
    }
}
void Solve(){
    int m;scanf("%d%d",&n,&m);//n个顶点，m条边
    for(int i=1;i<=m;++i){
        int x,y,z;scanf("%d%d%d",&x,&y,&z);
        a[x][y]=a[y][x]=z;//x到y的距离为z
    }
    Dijs(4);//节点4为源点
    for(int i=1;i<=n;++i)//输出每个点到源点的最短距离
        printf("%d ",dis[i]);
}
int main(){
    Solve();
    eturn 0;
}
/*数据为上图样例
7 12
1 2 12
1 6 16
1 7 14
2 3 10
2 6 7
3 4 3
3 5 5
3 6 6
4 5 4
5 6 2
5 7 8
6 7 9
*/

时间效率 $O(n^2)$ ,n-1 次的松弛必不可少，但需要 O(n) 的时间效率去找最小的边，再用 O(n) 的效率去松弛，对这一部分我们可以用堆进行优化。

11.5.1.2 堆优化的 `Dijkstra`

对于上一节普通的最短路算法我们可以进行如下优化：
1. 对于松弛部分，我们可以用邻接表的存储方式进行优化，对一个节点较多的图来说一般来说邻接表的遍历方式是常数的，远远小于 O(n) 。
2. 对求集合外的节点到源点的最小值，我们可以建一个小根堆，这样我们时间消耗就是进堆的操作，为 O(ElogE)，我们可以用有限队列进行操作。