法向量变换矩阵的推导

本文简述了一种法向量变换矩阵的推导过程

使用矩阵对点进行空间变换是图形学中的常见操作,假设变换矩阵为 $M$ ,我们需要变换切向量 $T$(由 点 $P_2$ - 点 $P_1$ 定义) 以及与其垂直的法向量 $N$ .( $T$ 和 $N$ 皆为列向量)

假设 点 $P_2$ 经过 $M$ 变换后为 $P_2'$, 点 $P_1$ 经过 $M$ 变换后为 $P_1'$, $T'$ 为经过变换后的切向量:

$\begin{aligned} & M * P_2 = P_2' \\ & M * P_1 = P_1' \\ & T' = P_2' - P_1' \end{aligned}$

对于原切向量 $T$,我们希望找到一个矩阵 $M'$, 使得:

$M' * T = T'$

我们直接令 $M' = M$ 来试一下:

$\begin{aligned} M' * T = M * T &= M * (P_2 - P_1) \\ &= M * P_2 - M * P_1 \\ &= P_2' - P_1' \\ &= T' \end{aligned}$

可见对于切向量 $T$ ,我们可以直接使用 $M$ 对其进行变换.

对于法向量 $N$ ,我们有(注意,第一个公式中的点号表示点积):

$\begin{aligned} & T \cdot N = 0 \implies \\ & T^T * N = 0 \end{aligned}$

假设变换后的法向量为 $N'$, 我们希望仍然保持其与 $T'$( $T$的变换后向量) 的垂直(注意,第一个公式中的点号表示点积):

$\begin{aligned} & T' \cdot N' = 0 \implies \\ & T'^T * N' = 0 \end{aligned}$

假设用于变换法向量的矩阵为 $G$, 则应有:

$\begin{aligned} & T' = M * T \\ & N' = G * N \\ & T'^T * N' = 0 \\ & (M * T)^T * (G * N) = 0 \\ & T^T * M^T * G * N = 0 \\ & T^T * (M^T * G) * N = 0 \end{aligned}$

由于我们知道:

$T^T * N = 0$

所以我们只要令(注意,这只是一种可能的取值,并不是唯一取值,我们的目的也仅是需要获得一种可能的取值):

$M^T * G = I$

便可以满足上面的等式 :

$\begin{aligned} & T^T * (M^T * G) * N = \\ & T^T * I * N = \\ & T^T * N = 0 \end{aligned}$

所以变换法向量,我们需要使用普通变化矩阵逆的转置(或者说转置的逆,对于可逆矩阵,其转置矩阵的逆矩阵等于其逆矩阵的转置矩阵)

$G = (M^T)^{-1} = (M^{-1})^T$

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如果变换矩阵 $M$ 是正交矩阵,则有(根据正交矩阵定义)

$M^{-1} = M^T$

于是法向量的变换矩阵变为:

$G = (M^T)^{-1} = (M^{-1})^{-1} = M$

此时我们就可以直接使用 $M$ 来变换法向量了.

更多资料

• The Normal Matrix
• 法向量（Normal）的变换矩阵的推导