LeetCode 292. Nim Game（博弈问题）

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考察 $n=4$ 时：

• 你取走 $1$，对手取走 $3$，对手赢
• 你取走 $2$，对手取走 $2$，对手赢
• 你取走 $3$，对手取走 $1$，对手赢
• 所以 $n=4$ 是一种必输策略

初始状态：

• $f[0]$ 必输， $f[1]、f[2]、f[3]$ 必胜
• $f[4]$ 必输， $f[5]、f[6]、f[7]$ 必胜

所以，若存在一种 $x \ (1 \leq x \leq 3)$，使得 $f[n-x]$ 必输，那么 $f[n]$ 则是必胜。不存在这种 $x$ 就是必输状态，就是怎么走别人都必胜。

到这里就可以循环打表了。

class Solution {
public:
    bool canWinNim(int n) {
        vector<bool> f(n+1, false);
        for(int i = 0; i < n ; i++) {
            if(!f[i]) {
                for(int j = 1; j <= 3; j++) {
                    f[i+j] = true;
                }
            }
        }
        return f[n];
    }
};

超时。我们再接着推。

由于每次取走的 $1 \sim 3$，记 $base=3$

• $f[0]$ 必输， $f[1] \sim f[base]$ 必胜
• $f[base+1]$ 必输， $f[base+2] \sim f[2*base+1]$ 必胜
• $f[k*(base+1)]$ 必输， $f[k*(base+1)+p]$ 必胜 $(1 \leq p \leq base)$

所以，

• $n \% (base+1)==0$ 必输
• $n\%(base+1)<>0$ 必胜，此时我们每次都取走余数，对方就变成了必输状态。

AC代码如下：

class Solution {
public:
    bool canWinNim(int n) {
        if(n%4==0)  return false;
        else    return true;
    }
};