1.已知 \(a\in R\) .设函数 \(f(x)=\begin{cases}x^2-2ax+2a , x\leq1 \\ x-a\ln x , x>1\end{cases}\quad\) ，若关于 \(x\) 的不等式 \(f(x)\geq0\) 在 \(\rm R\) 上恒成立，则 \(a\) 的取值范围为 \((\qquad)\)
\(A.[0,1]\qquad\qquad\qquad B.[0,2]\)
\(C.[0,\rm e]\qquad\qquad\qquad D.[1,\rm e]\)
解析
设 \(f_1(x)=x^2-2ax+2a,f_2(x)=x-a\ln x\) ，对于 \(f_1(x)\) 有对称轴 \(x=a\) ，且 \(f_1(1)=1,f_1(0)=2a\) .
①当 \(a<0\) 时，存在 \(x_0\leq1\) 使得 \(f_1(x_0)<0\) ，故不符.
②当 \(0\leq a\leq 1\) 时，\[f_1(x)=x^2-2ax+2a=(x-a)^2+a(2-a)\geq0\] \[f_2(x)=x-a\ln x\geq x-a(x-1)=(1-a)x+a>0\]符合.
③当 \(a>1\) 时，\(f_1(x)\) 在 \((-\infty,1]\) 上单调递减，则 \(f_1(x)\geq f_1(1)=1\) ，符合 . 求得 \[{f_2}^{'}(x)=\dfrac{x-a}{x}\]故 \(f_2(x)\) 在 \((1,a)\) 上单调递减，在 \((a,+\infty)\) 上单调递增.依题意有 \(f_2(x)_{\rm min}=f_2(a)=a-a\ln a\geq0\) ，解得 \(1<a\leq \rm e\) .
综上， \(a\) 的取值范围是 \([0,\rm e]\) .