[HNOI2008]GT考试（kmp，dp，矩阵乘法）

[HNOI2008]GT考试（luogu）

• Description

求有多少个n位的数字串不包含m位的字符串（范围 n <= 1e9 n<=1e9， m <= 20m<=20）

• Solution

f[i][j]表示以数字串i位结尾有j个匹配的字符

g[i][j]表示从i个字符匹配到j个字符匹配的方案数

dp方程如下：

f[i][j]=f[i-1][k]*g[k][j] (0<=k<m)

发现g数组可以用kmp预处理出来，然后上矩阵乘法

• Code

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#define ll long long
using namespace std;
const int N=21;
ll n,p,g[N][N],d[N][N],pre[N][N];
int m,nxt[N];
char s[N];
void mul1()
{
    memset(pre,0,sizeof(pre));
    for(int i=0;i<m;i++)
        for(int j=0;j<m;j++)
            for(int k=0;k<m;k++)
                pre[i][j]=(pre[i][j]+g[i][k]*g[k][j])%p;
    for(int i=0;i<m;i++)
        for(int j=0;j<m;j++)
            g[i][j]=pre[i][j]%p;
}
void mul2()
{
    memset(pre,0,sizeof(pre));
    for(int i=0;i<m;i++)
        for(int j=0;j<m;j++)
            for(int k=0;k<m;k++)
                pre[i][j]=(pre[i][j]+d[i][k]*g[k][j])%p;
    for(int i=0;i<m;i++)
        for(int j=0;j<m;j++)
            d[i][j]=pre[i][j]%p;
}
void ksm(ll x)
{
    while(x)
    {
        if(x&1) mul2();
        mul1(),x>>=1;
    }
}
int main()
{
    scanf("%lld%d%lld",&n,&m,&p);
    scanf("%s",s+1);
    nxt[1]=0;
    int k=0;
    for(int i=2;s[i];i++)
    {
        while(k>0 && s[k+1]!=s[i]) k=nxt[k];
        if(s[k+1]==s[i]) k++;
        nxt[i]=k;
    }
    for(int i=0;i<m;i++)
        for(int j=0;j<=9;j++)
        {
            char wh='0'+j;
            int k=i;
            while(k && s[k+1]!=wh) k=nxt[k];
            if(s[k+1]==wh) k++;
            if(k<m) g[i][k]++;
        }
    for(int i=0;i<m;i++) d[i][i]=1;
    ksm(n);
    ll ans=0;
    for(int i=0;i<m;i++)
        ans=(ans+d[0][i])%p;
    printf("%lld\n",ans%p);
    return 0;
}