第6章 哈夫曼树及哈夫曼编码（手工分析）

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【Huffman树的构造】

步骤：

① 根据 $n$ 个权值 $\left\{w_1, w_2, ⋯ , w_n\right\}$，构造成 $n$ 棵二叉树的集合 $F = \left\{T_1, T_2, ⋯ , T_n\right\}$，其中每棵二叉树只有一个权值为 $w_i$ 的根结点，没有左、右子树；

② 在 $F$ 中选取两棵根结点权值最小的树作为左、右子树构造一棵新的二叉树，且新的二叉树根结点权值为其左、右子树根结点的权值之和；

③ 在 $F$ 中删除这两棵树，同时将新得到的树加入 $F$ 中；

④ 重复②、③，直到 $F$ 只含一颗树为止。

注意：如果选出的两个数字都不是已经构造好的二叉树里面的结点，则要另外开一棵二叉树。
详细来说就是，如果两个数的和正好是下一步的两个最小数的其中的一个，那么这个树直接往上生长就可以了；如果这两个数的和比较大，不是下一步的两个最小数的其中一个，那么就并列生长。

注意：对同一组叶子结点来说，哈夫曼树可以是不唯一的，但是最小带权路径长度一定是唯一的。

约定：构造Huffman树时，为了规范，规定F = {T1, T2, ⋯ , Tn}中权值小的二叉树作为新构造的二叉树的左子树，权值大的二叉树作为新构造的二叉树的右子树；在取值相等时，深度小的二叉树作为新构造的二叉树的左子树，深度大的二叉树作为新构造的二叉树的右子树。

【Huffman编码方法】

规定Huffman树中左分支代表“0”，右分支代表“1” 。从根结点到每个叶子结点所经历的路径分支上的“0”或“1”所组成的字符串，为该结点所对应的编码，称之为Huffman编码。

【例题】

假设用于通信的电文是由字符集 $\left\{a, b, c, d, e, f, g, h\right\}$ 中的字符构成， 这 $8$ 个字符在电文中出现的概率分别为 $\left\{0.07, 0.19, 0.02, 0.06, 0.32, 0.03, 0.21, 0.10\right\}$。

（1）请画出对应的huffman树 (按左子树根结点的权小于等于右子树根结点的权的次序构造)。

（2） 求出每个字符的huffman编码。