Powerful Number 筛学习笔记

今天做了一道 $powerful\ number$ 筛的题，暴力可以用 $min25$，然后我板子打挂 3 个大样例全过…

题意：
$f(x)=1(x=1)$
$f(x)=2^{\Omega(x)}(x>1)$
$\Omega(x)$ 表示最大的 $k$ 使得 $x$ 能写成 $k$ 个大于 1 的整数（可以相同）的乘积
求前缀和 $n\le 1e13$

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首先它显然积性，考虑质数及质数次幂
$f(p)=2,f(p^k)=2^k$，然后就可以 $min25$ 了

引入 $powerful\ number$ 筛
我们找一个函数 $g$ 使得函数 $g$ 满足以下条件：
在质数处取值与 $f$ 一样且是积性函数
可以很方便地算出前缀和
然后再找一个 $h$ 使得 $f=g*h$，这里的 $*$ 指的是狄利克雷卷积
然后类似杜教筛
$\sum_{i=1}^nf(i)=\sum_{i=1}^nh(i)\sum_{d=1}^{\frac{n}{i}}g(d)$
但现在还是不可做，我们需要利用到 $h$ 的性质，等会儿在说

看这道题，显然有 $f(p)=2$，发现 $\sigma_0(p)=2$
考虑令 $g(x)=\sigma_0(x)$
然后显然有 $h(1)=1$
$f(p)=h(1)*g(p)+h(p)*g(1)$
于是有 $h(p)=0$，于是乎只有分解过后最小在 2 以上的数才会用贡献

这样的数一定可以写作 $a^2b^3$，我们称之为 $powerful\ number$
考虑它的个数
$\int_1^{\sqrt n}\sqrt[3]{\frac{n}{x^2}}dx=\sqrt n$
然后就可以暴力枚举 $powerful\ number$，然后算出它的贡献

考虑如何求一个质数的整次幂的 $h$，即 $h(p^k)$
有 $f(p^k)=\sum_{i=0}^kh(p^i)g(p^{k-i}),h(p^k)=f(p^k)-\sum_{i=0}^{k-1}h(p^i)g(p^{k-i})$
然后可以用前缀和优化之类或者暴力算来求

关于本题：
$\sigma_0$ 可以数论分块 $\sqrt n$ 求，于是复杂度变成了
$\int_1^{\sqrt n}\int_1^{\sqrt[3]{n/x^2}}\sqrt{\frac{n}{x^2y^3}}dydx=\sqrt n*log(n)$
打表发现 $h(p^i)=2^{i-2}$，然后就可以爆搜了
由于 $h$ 是积性的， $dfs$ 把之前的 $h$ 的质数次幂的贡献乘起来传到下一层即可

一些例题：
Problem 1： $f(p^e)=p\bigotimes e$，积性，求前缀和
由于 $f(p)=p-1$，构造 $g(p)=\varphi(p)$ 就可以了，算 $\varphi$ 可以用杜教筛

Problem 2：给定 $k$，积性函数 $f(p^e)=p^k$，求前缀和
构造 $g(x)=x^k$，求前缀和用拉格朗日插值就可以了， $h$ 可以暴力算或者打表找一下规律

总的来说，跟杜教筛差不多，就是新找一个函数来卷
然后利用有值的位置很少的这个性质快速求解

#include<bits/stdc++.h>
#define cs const
using namespace std;
typedef long long ll;
cs int N = 4e6 + 5;
cs int Mod = 998244353;
int add(int a, int b){ return a + b >= Mod ? a + b - Mod : a + b; }
int mul(int a, int b){ return 1ll * a * b % Mod; }
ll n; int prim[N], pw[N], tot, S; bool isp[N];
int coef[N], zig[N], f1[N], f2[N], ans;
void prework(){
	zig[1] = 1;
	for(int i = 2; i <= S; i++){
		if(!isp[i]) prim[++tot] = i, zig[i] = coef[i] = 2;
		for(int j = 1; j <= tot; j++){
			if(prim[j] * i > S) break;
			isp[i * prim[j]] = 1;
			if(i % prim[j] == 0){
				zig[i * prim[j]] = zig[i] / coef[i] * (coef[i] + 1);
				coef[i * prim[j]] = coef[i] + 1; break;
			} zig[i * prim[j]] = add(zig[i], zig[i]);
			coef[i * prim[j]] = 2; 
		}
	} for(int i = 1; i <= S; i++) f1[i] = add(f1[i-1], zig[i]);
}
int calc(ll x){
	if(x <= S) return f1[x];
	int k = n/x; if(~f2[k]) return f2[x];
	ll ans = 0;
	for(ll l = 1, r; l <= x; l=r+1){
		ll v = x/l; r=x/v; ans += v * (r-l+1);
	} return f2[k] = ans % Mod;
}
void dfs(int p, int pre, ll lim){
	if(p == tot+1 || (ll)prim[p]*prim[p]>lim) return;
	dfs(p+1, pre, lim);
	lim /= (ll)prim[p] * prim[p]; int sz = 2;
	while(lim){
		ans = add(ans, mul(pre, mul(pw[sz-2], calc(lim))));
		dfs(p+1, mul(pre, pw[sz-2]), lim); ++sz; lim /= prim[p]; 
	}
}
int main(){
	scanf("%lld", &n); S = sqrt(n); prework();
	pw[0] = 1; 
	for(int i = 1; i <= 60; i++) pw[i] = add(pw[i-1], pw[i-1]);
	memset(f2, -1, sizeof(f2));
	dfs(1, 1, n); cout << add(ans, calc(n)); return 0;
}