【TC 12104】KingdomAndCities（组合数学）（分类讨论）

先膜拜 zxyoi

题意：求 $n\le 50$ 个点 $m\le 50$ 条边
前 $k\le 2$ 个点的度数只能是 2 的带标号无向图个数

首先考虑 $k=0$ 的情况
大力 $dp$ 容斥转移
$f[n][m]=\binom{\binom{n}{2}}{m}-\sum_{i=1}^{n-1}\binom{n-1}{i-1}\sum_{j=1}^mf[i][j]*\binom{\binom{n-i}{2}}{m-j}$

$k=1$，考虑先把一个图填好，然后随便选一条边把这个点插进去

发现需要分放进去的点在不在三元环中讨论
不在的话就多了一个点一条边， $(m-1)f[n-1][m-1]$
否则多了一个点两条边， $(m-2)f[n-1][m-2]$

$k=2$
分两个点有没有捆绑讨论：
没有捆绑：

两个点都在 3 元环中，发现可以有公共边
两个的填发不冲突， $(m-4)^2f[n-2][m-4]$

一个点在 3 元环，一个点不在， $2*(m-3)*(m-4)*f[n-2][m-3]$

两个点都不在：
需要分有没有形成 4 元环讨论，如果形成了就是 $(m-3)f[n-2][m-3]$
如果没有就是 $(m-2)*(m-3)*f[n-2][m-2]$

两个点捆绑：
捆绑插到一条边中，发现需要分有没有形成 4 元环讨论
如果没有形成那么为 $2*(m-2)*f[n-2][m-2]$，注意两个点交换不同构
如果形成了就是 $2*(m-3)*f[n-2][m-3]$

两个点连到同一个点上，交换同构， $(n-2)*f[n-2][m-3]$

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自己拍了一下没有交

#include<bits/stdc++.h>
#define cs const
using namespace std;
cs int N = 50, M = N*N;
cs int Mod = 1e9 + 7;
int add(int a, int b){ return a + b >= Mod ? a + b - Mod : a + b;}
int mul(int a, int b){ return 1ll * a * b % Mod; }
void Add(int &a, int b){ a = add(a, b); }
int dec(int a, int b){ return a - b < 0 ? a - b + Mod : a - b; }
void Dec(int &a, int b){ a = dec(a, b); }
int C2(int n){ return n * (n-1) / 2; }
int n, m, k, c[M][M], f[N][N];
void prework(){
	int up = C2(n); c[0][0] = 1;
	for(int i = 1; i <= up; i++){
	c[i][0] = 1; for(int j = 1; j <= i; j++) c[i][j] = add(c[i-1][j], c[i-1][j-1]);
	}
	for(int i = 1; i <= n; i++)
	for(int j = i-1; j <= min(m,C2(i)); j++){
		f[i][j] = c[C2(i)][j];
		for(int p = 1; p < i; p++){
			int coef = c[i - 1][p - 1];
			for(int q = p-1; q <= min(j,C2(p)); q++)
			Dec(f[i][j], mul(f[p][q], mul(coef, c[C2(i-p)][j-q])));
		}
	}
}
int F(int n, int m){ if(n<0||m<0) return 0; return f[n][m]; }
int main(){
	cin >> n >> k >> m; 
	prework(); 
	if(n == 1){ if(!m && !k) puts("1"); else puts("0"); }
	if(n == 2){ if(m == 1 && !k) puts("1"); else puts("0"); }
	if(k == 0) cout << f[n][m] << '\n';
	if(k == 1) cout << add(mul(m-1,F(n-1,m-1)), mul(m-2,F(n-1,m-2))) << '\n';
	if(k == 2){
		int ans = 0;
		Add(ans, mul(mul(m-4,m-4), F(n-2,m-4)));
		Add(ans, mul(mul(m-3,m-4), mul(2,F(n-2,m-3))));
		Add(ans, mul(mul(m-2,m-3), F(n-2,m-2)));
		Add(ans, mul(m-3, F(n-2,m-3)));
		Add(ans, mul(mul(2, m-2), F(n-2,m-2)));
		Add(ans, mul(mul(2, m-3), F(n-2,m-3)));
		Add(ans, mul(n-2, F(n-2,m-3)));
		cout << ans << '\n';
	} return 0;
}