各向异性扩散滤波（Anisotropic Filter）原理与C++实现

各向异性扩散滤波（Anisotropic Filter，又称 Perona-Malik Filter），主要是用来平滑图像，克服了高斯滤波模糊的缺陷，各向异性扩散在平滑图像的同时又能保留图像边缘；此外，Perona-Malik Filter 在地学影像处理中也得到了相应的应用，如平滑DEM数据、河道提取 等。
将图像看作热量场，每个像元看作热流，根据当前像元和周围像元的关系，来确定是否需要向周围扩散。如果某个邻域像元和当前像元差别较大，那么这个邻域像元可能是边界，当前像元就不向这个方向扩散了，该边界也就得到保留。
主要迭代方程如下：
$I_{t+1}=I_t+\lambda(cN_{x,y}\nabla_N(I_t)+cS_{x,y}\nabla_S(I_t)+cE_{x,y}\nabla_E(I_t)+cW_{x,y}\nabla_W(I_t))$其中， $I$ 为图像， $t$ 为迭代次数。
四个散度公式是在四个方向上对当前像素求偏导，公式如下：
$\begin{array}{lcl} \nabla_N(I_{x,y})=I_{x,y-1}-I_{x,y} \\ \nabla_S(I_{x,y})=I_{x,y+1}-I_{x,y} \\ \nabla_E(I_{x,y})=I_{x-1,y}-I_{x,y} \\ \nabla_W(I_{x,y})=I_{x+1,y}-I_{x,y} \end{array}$
而 $cN$、 $cS$、 $cE$ 和 $cW$ 代表四个方向上的导热系数，公式如下：
$\begin{array}{lcl} cN_{x,y}=e^{-\frac{\rVert\nabla_N(I)\rVert^2}{k^2}} \\ cS_{x,y}=e^{-\frac{\rVert\nabla_S(I)\rVert^2}{k^2}} \\ cE_{x,y}=e^{-\frac{\rVert\nabla_E(I)\rVert^2}{k^2}} \\ cW_{x,y}=e^{-\frac{\rVert\nabla_W(I)\rVert^2}{k^2}} \end{array}$
整个公式需要设置的参数主要有三个，迭代次数 $t$，根据情况设置；导热系数相关的 $k$，取值越大，结果越平滑，越不易保留边缘； $\lambda$ 取值越大，结果越平滑。
C++实现（未使用opencv）：

void AnisotropicFilter(float *ppafScan, float *outppafScan, int nImgWidth, int nImgHeight, int iterationSum, float k, float lambda)
{
	//ppafScan	输入数据
	//outppafScan	输出数据
	//nImgWidth, nImgHeight	数据的宽和高
	//iterationSum	迭代总次数
	//k	导热系数,控制平滑
	//lambda	控制平滑
	
	for(int iter = 0; iter < iterationSum; ++iter)
	{
		for(int i = 0; i < nImgHeight; ++i)
		{
			for (int j = 0; j < nImgWidth; ++j)
			{
				if(i == 0 || i == nImgHeight - 1 || j == 0 || j == nImgWidth - 1)
				{
					outppafScan[i * nImgWidth + j] = ppafScan[i * nImgWidth + j];
					continue;
				}

				float NI = ppafScan[i * nImgWidth + (j - 1)] - ppafScan[i * nImgWidth + j];
				float EI = ppafScan[(i - 1) * nImgWidth + j] - ppafScan[i * nImgWidth + j];
				float WI = ppafScan[(i + 1) * nImgWidth + j] - ppafScan[i * nImgWidth + j];
				float SI = ppafScan[i * nImgWidth + (j + 1)] - ppafScan[i * nImgWidth + j];

				float cN = exp(-NI * NI / (k * k));
				float cE = exp(-EI * EI / (k * k));
				float cW = exp(-WI * WI / (k * k));
				float cS = exp(-SI * SI / (k * k));

				outppafScan[i * nImgWidth + j] = ppafScan[i * nImgWidth + j] + lambda * (cN * NI + cS * SI + cE * EI + cW * WI);
			}
		}
	}
	
	return;
}

当 $t=20$， $k=30$， $\lambda=0.20$ 时，结果如下图所示：

左：原始图像，右：滤波后的影像

高斯滤波（线性）和Perona-Malik滤波（非线性）的比较：(a)原始影像；(b) Gaussian filtering (the kernels = 7 m)；© Perona-Malik filter (t = 50)；(d) Gaussian filtering (the kernels = 14 m)；(e) Perona-Malik filter (t = 200) [原图链接]

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