第3章 线性映射
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2018-05-16 09:39:41
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线性映射
零元
01
一定一映射到零元
02
,否则不满足线性定义
线性映射的秩
线性映射的秩:
r(σ)=dimσ(V1)
r(σ)+dim(Kerσ)=dim(V1)
证明思路:
σ(V1)=L(σ(α1),...,σ(αn))
,
α
是基向量
设
dim(Kerσ)=k
,扩张其基向量到
V1
的基。则
σ(V1)=L(σ(αk+1),...,σ(αn))
。证明这n-k个像线性无关即可
满射
⟺
r(σ)=dim(V2)
,单射
⟺
dim(Kerσ)=0
定理 3.4
r(σ)+r(τ)−n≤r(τσ)≤min(r(σ),r(τ))
,
σ∈L(V1,V2),τ∈L(V2,V3),Vi依次是m,n,s维空间
证明思路:一个n维空间映射到m维空间,得到的像最多是n维
定理 3.7 若
V1(F)
和
V2(F)
分别是n和m维线性空间,则空间
L(V1,V2)
的维度是nm
证明思路:
L(V1,V2)
的元素是映射。先确定零元素的意义:任何映射
σ+σ0=σ
。这个映射
σ0
一定把
V1
中的基向量映射到
V2
中的
02
。
先找nm个线性无关的映射,它们线性组合为
σ0
,则系数都是0
在证明所有映射都可通过上面nm个映射表示
映射表示:
σ(α1)=k11β1+...+k1mβm
, .
σ(αn)=kn1β1+...+knmβm
或者通过映射的矩阵表示证明
定理 3.8 两个有限维线性空间
V1(F)
和
V2(F)
同构(存在线性双射)
⟺
它们维数相同
转载自blog.csdn.net/qq_28038207/article/details/80245619