6 Lebesgue空间Lp

• 古典微积分与现代实分析区别之一在于,
• 前者研究函数,着重单个函数性质
• 后者把由一些函数组成的集合看成空间,
  • 函数看作这些“空间”中的一个元素(或一个点),
  • 研究这些空间的“结构”,
  • 把微分与积分看成点到点之间的映射(算子)
• 由函数可积性定义的这种空间就是
  • 最基本与最重要的空间之一

 

• “空间”的思想,追溯到19末20初,
• Hilbert为求积分方程,把它化为解无穷线性方程组,并用有限线性方程组的解去逼近无穷的情形,研究有性质

• 后来Schmidt与Frechet将Hilbert的理论与n维欧氏空间比较
  • 把n推广到无穷
• 考虑无穷维向量空间,称 $x=(x_1,x_2,...,x_n,...)$为这个空间中的点
• 对两个满足

• 便产生了现在称之为 $l^2$空间的概念,距离是这种空间的一种“结构”
• Schmidt还引入范数符号

 

• 1907年,F.Riesz与Frechet同时用连续量代替离散量,

• 把 $l^2$中的点改为 $[0,1]$中的函数 $f(t)$,

• 原来加在序列上的条件自然变成
  $\int_0^1|f(t)|^2dt<+\infty\tag{4}$

• 得到所谓的 $L^2$空间

  • 与欧氏空间十分相似

• 又推广这一思想考虑在 $[a,b]$使 $|f(t)|^p$L可积的函数 $f(t)$,

• 即 $f(t)$满足

$\int_0^1|f(t)|^pdt<+\infty\tag{5}$

• 从而引出 $L^p$空间(本书总假定 $p\ge 1$)

 

• 22~23年,Hahn,Banach,Wiener独立引入一般线性赋范空间
• $L^p$空间重要在于它们是完备的,
  • 体现绪论数学史上第二次完备化
• $L^p$空间的引入,是Lebesgue积分对20世纪近代数学最重要贡献之一
• 这些空间本身及在这基础上发展出来的,如Sobolev空间,Hardy空间,BMO空间(有界平均振动空间)等,成近代数学的基本框架
• 为纪念Lebesgue贡献,把最初用可积性定义的这些函数空间称Lebesgue空间,记 $L^p$

 

• 本章在前面Lebesgue测度与积分基础上
• $L^p$空间简单介绍,使读者体会Lebesgue积分的意义
• $L^p$空间更加丰富的内容,可从别的课程或专著中学到

6.1 $L^p$空间

• $E$是 $R^n$可测子集, $m(E)>0$,
• $p \ge 1$的实数
• 对在 $E$上可测且满足类似(5)式的函数 $f(x)$

$\int_E |f(x)|^pdx<+\infty$

• 引入下面定义

 

• 定义6.1
• 全体在 $E$可测且满足

• 的 $f(x)$,
• 组成函数空间 $L^p(E)$,简记为 $L^p$
• $1\le p<\infty$
• $||f||_p$为 $f$在 $L^p$的范数

 

• $L^p(E)$就是在 $E$上 $p$次幂可积的可测函数类
• 先证它是线性空间