[算进] 巴士

Problem

ACwing 题目地址

Preface

我是真的想 bb 两句了，，，这个题目超级简单，但是因为 看错题目x2 导致影响我一天的心情。。。

当然我要把好的题解和心情带给你们呀 qwq！

Solution

首先注意：这题的公交线路是一个严格在 \(0-59\) 范围内的等差数列，比如 \(3,6,9,12\) 就是一个不合法的公交路线，而 \(3,6,9,...,57\) 就是一个合法的公交路线

完全读懂题目后，我们可以很快想到解题思路————

• \(1.\) 预处理出来所有合法的公交路线，每个公交路线是一个等差数列，用二元组 \((x,d)\) 来表示，\(x\) 是首项，\(d\) 是公差，说明这个路线的公交车到站时刻分布在 \(x+d,x+2d,...,x+kd\)（\(k\) 是满足 \(x+kd<60\) 的最大非负整数）这些时刻。

预处理这里有一个 细节： 注意 \(3,6,9,...,57\) 和 \(6,9,...,57\)，后者甚至不是一个合法的公交路线。我们要避免枚举这种情况，就要保证 \(x-d<0 => d>x\) （这样就保证了 \(x-d\) 不在 \(0-59\)，没有更小的起点）

• \(2.\) Dfs实现组合型枚举 + IDfs，我们枚举哪些公交路线叠加起来可以刚好填满所有的时刻。

• \(3.\) 剪枝优化：

1. 喜闻乐见 的优化枚举顺序：我们要尽可能地在每一次枚举公交路线的时候多影响一些点，那么我们可以按每一条公交路线影响的点从大到小排序

2. 附加剪枝（很有用）：如果我们还可以枚举 \(k\) 个公交路线，又因为我们已经把公交路线从大到小排序，假设当前我们从 \(now\) 开始枚举，\(now\) 这条公交路线有 \(m\) 个点，当前已经影响了 \(s\) 个点，总共有 \(n\) 个点，如果 \(s+k*m < n\) 的话，那么直接 return（因为最多还能影响 \(k*m\) 个点，加起来都还不够的话，这条分支就不能成功）

我不会分析时间复杂度qwq，本来是组合型枚举的Dfs复杂度，加上剪枝后就跑得飞快了 %>_<%

Code

Talk is cheap.Show me the code.

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
inline int read() {
    int x=0,f=1; char ch=getchar();
    while(ch<'0' || ch>'9') { if(ch=='-') f=-1; ch=getchar(); }
    while(ch>='0'&&ch<='9') { x=(x<<3)+(x<<1)+(ch^48); ch=getchar(); }
    return x * f;
}
const int N = 67, MAXN = 3607;
int n,cnt,idt;
int bus[N];
struct Node {
    int x,d,nums;
    bool operator < (const Node &el) const {
        return nums > el.nums;  //经典剪枝：优化搜索顺序，从大到小搜 
    }
}route[MAXN];   //route 线路 
inline bool check(int x,int d) {
    for(int i=x;i<60;i+=d)
        if(!bus[i]) return false;
    return true;
}
bool Dfs(int dep,int now,int res) {
    if(dep == idt) return (res == n);
    if(res+(idt-dep)*route[now].nums < n) return false; //在线剪枝 
    for(int i=now;i<=cnt;++i) {
        int x = route[i].x, d = route[i].d, nums = route[i].nums;
        if(check(x,d)) {
            for(int j=x;j<60;j+=d) bus[j]--;
            if(Dfs(dep+1,i,res+nums)) return true;
            for(int j=x;j<60;j+=d) bus[j]++;
        }
    }
    return false;
}
int main()
{
    n = read();
    for(int i=1,pos;i<=n;++i) {
        pos = read(); ++bus[pos];
    }
    for(int i=0;i<60;++i)
        for(int j=i+1;i+j<60;++j)
            if(check(i,j)) route[++cnt] = (Node)<%i,j,(59-i)/j+1%>;
    //printf("test cnt = %d\n",cnt);
    sort(route+1, route+1+cnt);
    idt = 0;
    while(!Dfs(0,1,0)) {
        ++idt;
        if(idt > 17) {
            puts("Unkown Problems!");
            return 0;
        }
    }
    printf("%d\n",idt);
    return 0;
}

Summary

认真看题，认真分析，认真思考！！！

• 组合型枚举模型 Get

• 等差数列 Get

• 优化搜索顺序大法 Get