CF932E Team Work - 斯特林数、组合数学

别人推公式用纸和笔，我推公式用 \(\text{typora}\)（确信

Description

求
\[ \sum \limits_{i=1}^{n} \binom{n}{i} i^k \]

Solution

首先要知道一个经典的公式
\[ n^k = \sum \limits_{i=0}^{k} \binom{n}{i} \begin{Bmatrix} k \\ i \end{Bmatrix} i! \]
这个式子的组合意义：左边表示将 \(k\) 个有标号的球任意放入 \(n\) 个有标号的盒子里；右边则是组合数枚举有多少个空盒，然后将球放入非空的盒子里，最后由于盒子不同，还要乘上一个阶乘。

然后就可以大力推式子了
\[ \sum \limits_{i=1}^{n} \binom{n}{i} i^k = \sum \limits_{i=1}^{n} \binom{n}{i} \sum \limits_{j=0}^{k} \binom{i}{j} \begin{Bmatrix} k \\ j \end{Bmatrix} j! \\= \sum \limits_{i=1}^{n} \sum \limits_{j=0}^{k} \binom{n}{i} \binom{i}{j} \begin{Bmatrix} k \\ j \end{Bmatrix} j! \\= \sum \limits_{i=1}^{n} \sum \limits_{j=0}^{k} \binom{n}{j} \binom{n-j}{i-j} \begin{Bmatrix} k \\ j \end{Bmatrix} j! \\= \sum \limits_{i=1}^{n} \sum \limits_{j=0}^{k} \frac{n!}{j!(n-j)!} \binom{n-j}{n-i} \begin{Bmatrix} k \\ j \end{Bmatrix} j! \\= \sum \limits_{i=1}^{n} \sum \limits_{j=0}^{k} \frac{n!}{(n-j)!} \binom{n-j}{n-i} \begin{Bmatrix} k \\ j \end{Bmatrix} \\= \sum \limits_{j=0}^{k} \begin{Bmatrix} k \\ j \end{Bmatrix} \frac{n!}{(n-j)!} \sum \limits_{i=1}^{n} \binom{n-j}{n-i} \\= \sum \limits_{j=0}^{k} \begin{Bmatrix} k \\ j \end{Bmatrix} \frac{n!}{(n-j)!} 2^{n-j} \]
然后就可以直接算了。

Code

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

typedef long long ll;
const ll mod = 1e9 + 7;
const int _ = 5000 + 10;
ll N, K, S[_][_], ans;

inline void init() {
    S[0][0] = 1;
    for (int i = 1; i <= K; ++i)
        for (int j = 1; j <= i; ++j)
            S[i][j] = (S[i - 1][j - 1] + S[i - 1][j] * j % mod) % mod;
}

ll ksm(ll a, ll b) {
    ll ret = 1;
    for ( ; b; b >>= 1) {
        if (b & 1) ret = ret * a % mod;
        a = a * a % mod;
    }
    return ret;
}

int main() {
#ifndef ONLINE_JUDGE
    freopen("work.in", "r", stdin);
    freopen("work.out", "w", stdout);
#endif
    scanf("%lld%lld", &N, &K);
    init();
    ll _2 = ksm(2, N), inv = ksm(2, mod - 2), fac = 1;
    for (int i = 0; i <= K; ++i) {
        ans = (ans + fac * S[K][i] % mod * _2 % mod) % mod;
        _2 = _2 * inv % mod;
        fac = fac * (N - i) % mod;
    }
    printf("%lld\n", ans);
    return 0;
}