后缀数组（下——height与h）

见《上》：https://blog.csdn.net/fengqiyuka/article/details/94589605

背景

• 没有背景
• 我们发现，如果只有SA与rank，真是除了求排名什么也做不了。
• 哈哈哈，其实SA与rank只是铺垫，后缀数组最厉害的地方就要展现——

最长公共前缀

• 先来一个最简单的问题：给定一个字符串，求出现最少2次的字符串最长长度。
• 看罢，你喊道——这不是很简单吗？直接 $O(n^3)$或 $O(n^2)$搞定啊！
• 少年，你落伍了！现在已经是log的时代！！（好吧是O(n) 的时代）
• 在机智地把这道题与后缀联系起来之后，我们发现这道题其实就是求后缀之间的最长公共前缀！
• 例如一个子串在字符串s中的位置分别是 $[a,b]$和 $[c,d]$，那么这个子串其实就是以a为开头的后缀与以c为开头的前缀的公共前缀。
• 我们发现，之前学过的后缀数组SA与rank，几乎什么用也没有。
• 于是乎，一个全新的后缀数组登场了！！ （好吧是两个）

height与h

• 首先让我们清楚这两个后缀数组的定义。

• 定义 $LCP(i,j)$为以sa[i]开头的后缀和以sa[j]开头的后缀的最长公共前缀。

• 而 $height[i]$指的是排名为i的后缀与排名为i-1的后缀的最长公共前缀，即 $LCP(i-1,i)$。

• $h[i]$指的则是以i为开头的后缀与排名在它前一位的后缀的最长公共前缀，即 $LCP(rank[i]-1,rank[i])$。

• $h[i]$很绕，必须先弄清楚定义，后面的东西才可以明白。

• 给出两个等式 $height[i]=h[SA[i]],h[i]=height[rank[i]]$。

  LCP的性质

  • 重点部分来了，之所以height与h可以快速求出，是因为LCP有很多神奇的性质。
  • a. $LCP(i,j)>=LCP(i,k)$,当 $1<=i<=j<=k<=n$。
  • 我们设 $LCP(i,j)=p$，则 $s[i+p] \neq s[j+p]$。因为 $i$的排在 $j$前面，所以 $s[i+p]<s[j+p]$，又因为 $j$在 $k$前面，若 $LCP(i,k)>p$，则必有 $s[i+l] = s[k+l](0<=l<=p)$，通过比较可以的出 $k$比 $j$小，则假设不成立，得证。

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  • b. $LCP(j,i)>=LCP(k,i)$，当 $1<=k<=j<=i<=n$。
  • 证明方法类似。

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  • c.若 $LCP(rank[i],rank[j]) \ge 1$且 $rank[j]<rank[i]$，则 $rank[j+1]<rank[i+1]$，且 $LCP(rank[j+1],rank[i+1])=rank([i],rank[j])-1$。
  • 这个其实也是比较显然的。
  • 由已知我们可以得到以i开头后缀与以j开头后缀第一次出现不同的位置在 $s[i+k]$与 $s[j+k]$处，则 $k>=1$，因为 $rank[j]<rank[i]$，所以 $s[j+k]<s[i+k]$，比较可得 $rank[j+1]<rank[i+1]$。
  • 后面这个等式就不用说了吧…

终极性质

• 很好，现在让我们说出height与h最重要的性质：
• $h[i]>=h[i-1]-1$
• 首先我们设排在 $i-1$前一位的是 $k$，排在 $i$前一位的是 $j$。即 $h[i]=LCP(rank[i],rank[j])$， $h[i-1]=LCP(rank[i-1],rank[k])$。
• 分类讨论模式启动…
• 第一种， $h[i-1]=0$，显然。
• 第二种， $h[i-1] \ge 1$,则 $LCP(rank[i-1],rank[k]) \ge 1$。
• 由性质c我们可以得到，由于 $rank[k]<rank[i-1]$，则 $rank[k+1]<rank[i],LCP(rank[k+1],rank[i])=LCP(rank[k],rank[i-1])-1=h[i-1]-1$。
• 因为 $rank[j]=rank[i]-1$，所以 $rank[k+1]<=rank[j]$，有性质 $b$可得：设 $A=rank[k+1],B=rank[j],C=rank[i]$，则 $1<=A<=B<=C<=n$。
• 所以 $LCP(B,C)>=LCP(A,C)$，所以 $LCP(rank[j],rank[i])>=LCP(rank[k+1],rank[i])=h[i-1]+1$。得证。
• 综上所述， $h[i]>=h[i-1]+1$。

求法

• 有了刚才那个性质之后，h数组就很好求了吧！
• 假设已经知道了 $h[i-1]$，我们只要从 $h[i-1]-1$开始匹配来求出 $h[i]$即可。
• 求出了h数组，height数组也就很好求了。

刚才那道题

• 还记得那道题目吗？
• 给定一个字符串，求出现最少2次的字符串最长长度。
• 显然求height数组的最大值即可。

代码

• 没有代码，裸题太不好玩了。
• 大家可以搜一搜与此有关的题目，大把大把。