Basic Thought / Data Structure: 前缀和 Prefix Sum

在OI中，前缀和是一个重要的优化思想

Function: 求静态区间和

模板题：输入序列\(a_{1..n}\)，对于每一个输入的二元组\((l,r)\)，求\(\sum_{i=l}^ra_i\)

先想一想朴素算法怎么做吧

对于输入的每一组\((l,r)\)，遍历序列\(a_{l..r}\)求和，代码如下

int s(0);
for(int i(l);i<=r;++i)s+=a[i];
return s;

Time complexity: \(O(n)\)

Memory complexity: \(O(1)\)

如果有m次询问，则总时间复杂度\(O(nm)\)

观察这个过程，可以发现有大量多余运算，比如说，对于两次询问，它们区间的交集就是被多余运算的

那么有没有方法使得计算量减少呢？

可以发现\(\sum_{i=l}^ra_i=\sum_{i=1}^ra_i-\sum_{i=1}^{l-1}a_i\)

也就是说如果存在数组\(s_{1..n}\)使得\(s_i=\sum_{j=1}^ia_j\)，则

\(\sum_{i=l}^ra_i=s_r-s_{l-1}\)

\(s_{1..n}\)就是传说中的前缀和数组啦！

Operation:

　　First: 将普通数组\(a_{1..n}\)构造成前缀和数组\(s_{1..n}\)

　　Second: 对于输入区间\([l,r]\)，直接计算出区间和\(s_r-s_{l-1}\)

关键就是前缀和数组如何构造

使用递推思想

\(s_i=\sum_{j-1}^ia_j=\sum_{j-1}^{i-1}a_j+a_i=s_{i-1}+a_i\)

代码如下

求\(s_{1..n}\)

for(int i(1);i<=n;++i)s[i]=s[i-1]+a[i];

询问

return s[r]-s[l-1];

到此为止前缀和的所有基本操作都讲完啦！

Conclusion & Extension:

前缀和是一种泛用性很高的数据结构，也是非常重要的优化思想

它利用预处理和递推的方法减少多余运算，达到优化的目的，被广泛运用于dp的优化中

不仅适用于加法，还适用于所有满足于结合律而且具有单位（对于加法就是0）和逆元（a的逆元是-a）的二元运算，如乘法

但是对于求最值就不太靠谱了（对于这类问题（称为RMQ问题）也有很棒的算法）

前缀和思想的强大产物：树状数组

Particularly, 前缀和还有逆运算，叫差分

到此为止本篇文章就圆满结束啦，请各位奆佬们多多指教和支持，THX!