CF Hello 2020 E.New Year and Castle Construction

E.New Year and Castle Construction

题意

给定n个点，对于每个点\(p\)，求出4-point 子集（该子集有四个点，并且围成的圈包含\(p\)）的个数

数据给的点中没有三点共线的情况

这个题的题意并不是很好理解，补题过后还发现自己理解的题解是有问题的。

分析

1. 四个点围成一个圈，第5个点在其中。所以总方案数为\(n*C_{n-1}^4\)，枚举中间那个点，然后从剩余的(n-1)个点中选剩余的四个点。

2. 考虑\(n^2\)的做法，正向枚举所有方案中可行的方案并不是很合适，因为要考虑更大的子集的情况，所以反向枚举。

3. 不合法的方案：其他的四个点并不能包含点\(p\)。枚举这四个点中的其中一个点\(q\)，计算取剩余3个点的方案数。考虑\(p\)与\(q\)连成的直线，可以从这条直线某一侧取出三个点，可以发现这样的组合一定不会使得四个点构成的圈包含\(p\)。

4. 如何不重不漏的删除所有不合法的方案？对于每个\(p\)，\(q\)作为四个点中，与\(p\)连线斜率最小的那个点，然后在这样的基础上，只能从\(pq\)连线一侧拿另外三个点。可以想到这样的方案对于\(p\)来讲是没有重复的。而\(p\)的枚举又是独立的，所以可以补充不漏的删除所有方案。

const int N = 3005;
long double x[N],y[N];
int main()
{
    int n;scanf("%d",&n);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin >> x[i] >> y[i];
    }    
    ll res = 1ll * n * (n-1) * (n-2) * (n-3) * (n-4) / 24;
    long double pi = acos(-1.0L);
    for(int i=1;i<=n;i++){
        vector<long double> v;
        for(int j=1;j<=n;j++){
            if(i == j)continue;
            v.push_back(atan2(y[j]-y[i],x[j]-x[i]));
        }
        sort(v.begin(),v.end());
        int m = n-1,index = 0;
        for(int j=0;j<m;j++){
            while(index < j + m){
                long double ang = v[index%m] - v[j];
                if(ang < 0) ang += 2 * pi;
                if(ang < pi)index ++;
                else break;
            }
            ll cnt = index - j - 1;
            res -= 1ll * cnt * (cnt - 1) * (cnt - 2) / 6;
        }
    }
    cout << res << endl;
    return 0;
}

参考链接

B站up主：https://www.bilibili.com/video/av82161298?p=411

ps:题解有些许啰嗦，up主视频中讲解的很清楚，然后我对这个解法的正确性进行了一些额外的思考，表达能力欠佳，如果读者发现描述中有不准确或者不理解的地方，烦请在下面留言，谢谢！在最后非常感谢B站up主qscqesze的讲解。