One phase free boundary 的理论确实令人费解，也令人着迷。为什么这么说？因为直接入门看[AC],要花费很大的功夫，看了可能也不一定能马上知道他们说了什么，但是经过了差不多40年的努力，数学家们对于此问题的理解可以说还是有很大的突破的，特别是最近看到了B. Vehichkov写的讲义，可以说是把这个问题整体梳理了一遍。而此讲义也解决了我的很多困惑。
问题的描述:
假设$D$ 是光滑区域，比如说$B_1$, 考虑 $u\in H^1(D)$, $g\in H^1(D)$ , $g\geq 0$ on $\partial D$, 极小化泛函
$$\inf\limits_{v\in H^1(D), v-g\in H^1_0(D)} \int_{D} |\nabla v|^2dx+|\{x\in D: v>0\}|.$$
极小解的存在证明是容易的得到的，不妨记$u$为变分极小解。
首先看解的正则性，$u\in H^(D)$, $u\geq 0$, $u$是subharmonic的，此时可修改$u$的逐点定义。(因为是非线性问题，可能极小解的唯一性是没法保证的。) 容易证明$u$是局部有界的。还可以进一步证明$u$是局部Lipschitz连续的，即 $u\in C^{0,1}_{loc}(D)$. 事实上，这是$u$的最优正则性。它的证明需要用到形变区域的变分，类似于stationary调和映照。
然后考虑自由边界存在的情形，定义$F(u)=\partial\{u>0\}\cap D$, $\Omega_u=\{u>0\}\cap D$. 这是最关键的部分，也是最难的部分。我们这里并不完全按照[AC]来描述，在该文中，他们研究了Lipschitz连续，正部调和且具有线性增长的函数的性质，并进一步提出了一类one phase FBP 问题的弱解形式，当然它包含了不是变分极小解的情形，再后来Caffarelli提出了FBP粘性解的概念。总体的思路是从变分极小解的性质中，抽出某几类关键的性质作为一个函数类来研究，套路和De Giorgi Class一致。
对于自由边界条件，[AC] 文中给出了在积分极限意义下的定义，以及在弱解定义中给出了另外基于reduce boundary的一种定义。显然当$F(u)$光滑时候有$\frac{\partial u}{\partial \nu}=1$ on $F(u)$，其中$\nu$指向正部分。 事实上，在De Silva的文章中出现了两类抽象出的粘性解的定义，当然变分极小解都满足相应的定义。
定义(1) $u\in C(B_1)$, $-\Delta u=0\ \ \ in \{u>0\}$, 不妨设$0\in F(u)$;
对于任意的$x_0\in F(u)$, 若此处有内切球或者外切球，则 $u(x)=<x,\nu>^+o(|x-x_0|)$ as $x\rightarrow 0$.
定义(2) $u\in C(B_1)$, $-\Delta u=0\ \ \ in \{u>0\}$, 不妨设$0\in F(u)$;
对于任意的$x_0\in F(u)$, 若此处有下接触函数$\phi^+(x)$，其中$\phi(x)\in C_0^{\infty}(B_1)$, 则 $|\nabla \phi(x_0)|\leq 1$; 若此处有上接触函数$\phi^+(x)$，其中$\phi(x)\in C_0^{\infty}(B_1)$, 则 $|\nabla \phi(x_0)|\geq 1$;
从定义(1)中，我们后来知道这种有内、外切球的点实际上都是正则点，可看[CS]的第一章。当研究自由边界的时候，不管哪种定义，我们这时候都要研究自由边界点处的blow up 序列。
定义 $u_{x_0,r}(x)=\frac{u(x_0+rx)}{r}$, for $r>0$. 此时 $u_{x_0,r}(0)=0$,$ |\nabla u_{x_0,r}(x)|\leq L$.
从Arzela-Ascoli定理，并运用对角线方法可以挑选出收敛子列，收敛于$u_0$ in $R^n$， 事实上, $u_0$是一次齐次函数.
当$u_0=<x,\nu>^+$时，我们称$x_0\in F(u)$为正则点$Reg(\Omega_u)$，否则成为奇异点 $Sin(\Omega_u)$。
有点累了，祝大家2020元旦快乐！
接下来，还需要讨论的是：
局部上来讲, F(u) 具有$n-1$维测度有限，并且有性质
$$\forall x_0\in F(u), 0<r<dist(x,\partial D), \exist c\in (0,1), s.t. c \frac{|B_r(x_0)\cap \Omega_u|}{|B_r(x_0)|}\leq1-c. $$
由此两条可以推出$\Omega_u$ 是局部可求长集合，并且 $H^{n-1}(F(u)- F^*(u))=0$, 这里 $F^*(u)$ 为reduced boundary.
这里完全没有用到单调公式，如果再使用weiss单调公式，则可以得到更精细的结果。
对于正则点来讲，通过blow up 序列的收敛，可以让自由边界变得Flat，然后有Flat 推出 $C^{1,\alpha}$ 正则性，其中$\alpha\in (0,1/2)$.
最优就是$Sin(\Omega _u)$点的结构的研究。
当然，这里面的方法是和障碍问题，极小曲面是完全平行的。
有空在来写，睡觉了。