luogu P2221 [HAOI2012]高速公路题解

题面
很套路的拆式子然后线段树上维护区间和的题。一般都是把式子拆成区间内几个形如\(\sum i*a_i, \sum i^2 * a_i\)的式子相加减的形式。

考虑一次询问[l,r]的答案怎么算：
\[ans=\sum_{i=l}^{r}a_i*(i-l+1)*(r-i+1)\]
把括号拆开，就成了：
\[(l+r)\sum_{i=l}^{r}a_i*i-\sum_{i=l}^{r}a_i*i^2-(l-1)*(r+1)\sum_{i=l}^{r}a_i\]
线段树上维护区间\(\sum i^2*a_i\)的和即可。

代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define N 200007
#define ll long long
struct data
{
    ll s1,s2,s3;
};
data operator +(data l,data r)
{
    return (data){l.s1+r.s1,l.s2+r.s2,l.s3+r.s3};
}
data operator *(data v,ll d)
{
    return (data){v.s1*d,v.s2*d,v.s3*d};
}

int n;

struct Tree
{
#define lc (k<<1)
#define rc (k<<1|1)
    data val[N<<2],sum[N<<2];
    ll add[N<<2];

    void mark(int k,ll d)
    {
        val[k]=val[k]+sum[k]*d;
        add[k]+=d;
    }
    void pushdown(int k)
    {
        mark(lc,add[k]);
        mark(rc,add[k]);
        add[k]=0;
    }
    void build(int k,int l,int r)
    {
        if(l==r)
        {
        sum[k]={1,l,1ll*l*l};
        return;
        }
        int mid=l+r>>1;
        build(lc,l,mid),build(rc,mid+1,r);
        sum[k]=sum[lc]+sum[rc];
    }
    void modify(int k,int l,int r,int x,int y,ll d)
    {
        if(l>=x&&r<=y)return mark(k,d);
        int mid=l+r>>1;
        pushdown(k);
        if(x<=mid)modify(lc,l,mid,x,y,d);
        if(y>mid)modify(rc,mid+1,r,x,y,d);
        val[k]=val[lc]+val[rc];
    }
    data query(int k,int l,int r,int x,int y)
    {
        if(l>=x&&r<=y)return val[k];
        int mid=l+r>>1;
        data ans={0,0,0};
        pushdown(k);
        if(x<=mid)ans=ans+query(lc,l,mid,x,y);
        if(y>mid)ans=ans+query(rc,mid+1,r,x,y);
        return ans;
    }
    void mdy(int l,int r,ll d)
    {
        modify(1,1,n,l,r,d);
    }
    ll ask(ll l,ll r)
    {
        data ans=query(1,1,n,l,r);
        return (l+r)*ans.s2-ans.s3-(l-1)*(r+1)*ans.s1;
    }
}T;

ll gcd(ll x,ll y)
{
    return y?gcd(y,x%y):x;
}

int main()
{
    int m;
    scanf("%d%d",&n,&m),n--;
    int l,r;
    ll d;
    char s[10];
    T.build(1,1,n);
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
    scanf("%s%d%d",s,&l,&r);r--;
    if(s[0]=='C')
    {
        scanf("%lld",&d);
        T.mdy(l,r,d);
    }
    else
    {
        ll x=T.ask(l,r),len=r-l+1,y=1ll*len*(len+1)/2;
        ll gd=gcd(x,y);
        printf("%lld/%lld\n",x/gd,y/gd);
    }
    }
    return 0;
}