【HAOI 2012】高速公路
Problem
Description
\(Y901\) 高速公路是一条重要的交通纽带，政府部门建设初期的投入以及使用期间的养护费用都不低，因此政府在这条高速公路上设立了许多收费站。
\(Y901\) 高速公路是一条由 \(n-1\) 段路以及 \(n\) 个收费站组成的东西向的链，我们按照由西向东的顺序将收费站依次编号为 \(1\sim n\) ，从收费站 \(i\) 行驶到 \(i+1\) (或从 \(i+1\) 行驶到 \(i\) )需要收取 \(V_i\) 的费用。高速路刚建成时所有的路段都是免费的。
政府部门根据实际情况，会不定期地对连续路段的收费标准进行调整，根据政策涨价或降价。
无聊的小 \(A\) 同学总喜欢研究一些稀奇古怪的问题，他开车在这条高速路上行驶时想到了这样一个问题:对于给定的\(l,r(l< r)\) ,在第 \(l\) 个到第 \(r\) 个收费站里等概率随机取出两个不同的收费站 \(a\) 和 \(b\)，那么从 \(a\) 行驶到 \(b\) 将期望花费多少费用呢?
Input Format
第一行 \(2\) 个正整数 \(n,m\)，表示有 \(n\) 个收费站，\(m\) 次调整或询问
接下来 \(m\) 行，每行将出现以下两种形式中的一种
\(C\ \ l\ \ r\ \ v\) 表示将第 \(l\) 个收费站到第 \(r\) 个收费站之间的所有道路的通行费全部增加 \(v\)
\(Q\ \ l\ \ r\) 表示对于给定的 \(l,r\)，要求回答小 \(A\) 的问题
所有 \(C\) 与 \(Q\) 操作中保证 \(1\le l< r\le n\)
Output Format
对于每次询问操作回答一行，输出一个既约分数
若答案为整数 \(ans\) ，输出 \(ans/1\)。
Sample
Input
4 5
C 1 4 2
C 1 2 -1
Q 1 2
Q 2 4
Q 1 4Output
1/1
8/3
17/6Explanation
所有 \(C\) 操作中的 \(v\) 的绝对值不超过 \(10000\)
在任何时刻任意道路的费用均为不超过 \(10000\) 的非负整数
所有测试点的详细情况如下表所示
Range
| \(Test\) | \(n\) | \(m\) |
|---|---|---|
| 1 | =10 | =10 |
| 2 | =100 | =100 |
| 3 | =1000 | =1000 |
| 4 | =10000 | =10000 |
| 5 | =50000 | =50000 |
| 6 | =60000 | =60000 |
| 7 | =70000 | =70000 |
| 8 | =80000 | =80000 |
| 9 | =90000 | =90000 |
| 10 | =100000 | =100000 |
Algorithm
线段树
Mentality
很显然，这题和期望概率毫无关系，只需要求出总贡献再去除以 \(C_{r-l+1}^2\) 即可。
那么如何求总贡献呢？
考虑分开计算贡献，我们最后的总贡献肯定是：
\[ \sum_{i=l}^r V[i]*(i-l+1)*(r-i+1) \]
仔细凝视这个式子肯定是看不出什么的还会显得你很愚蠢 ，动手才是正途。我们先把这两个括号拆开看看：
\[ V[i]*(i-l+1)*(r-i+1)=V[i]*(r*i-i^2+i-l*r+l*i-l+r-i+1)\\ =V[i]*(r-l+1-r*l)+V[i]*i*(r+l)-V[i]*i^2 \]
好的，既然我们拆成了这样，那么我们的 \(\sum\) 就成功地被一拆三了！由于我们已经把包含 \(i\) 的项都单独放在了外面，剩下的都是定值，那么我们的总贡献就改为了这样的三个 \(\sum\) 之和：
\[ ((r-l+1-r*l)*\sum V[i])+((r+l)*\sum V[i]*i)+(\sum V[i]*i^2) \]
由于 \(r-l+1-r*l\) 和 \(r+l\) 都很普通，我们只需要用线段树维护三个含 \(i\) 的值就好啦！
至于这三个值怎么维护呢？看着满阔怕，但是由于 \(\sum\) 中的每一项都是单独算的，那么不难发现，我们对一个区间都加上 \(v\) 时，这段区间上三个值加上的贡献肯定分别为：\(v*(r-l+1)\) ，\(v*\sum i\)，\(v*\sum i^2\) 。那么我们只需要预处理一下 \(i\) 和 \(i^2\) 的前缀和即可！
最后和 \(C_{r-l+1}^2\) 同除 \(gcd\) 即可。
啥？代码有哪些坑点？没啥坑点，自己体会 = = 。
Code
#include<iostream>
#include<cstdio>
using namespace std;
#define ls (o<<1)
#define rs ((o<<1)+1)
#define mid ((l+r)>>1)
int n,m;
long long x,L,R,ans[4],a[100001],q1[100001],q2[100001],adv[400001],sum[4][400001];
char opt;
void pushup(int o){for(int i=1;i<=3;i++)sum[i][o]=sum[i][ls]+sum[i][rs];}
void pushdown(int o,int l,int r)
{
sum[1][ls]+=1ll*adv[o]*(mid-l+1);
sum[2][ls]+=adv[o]*(q1[mid]-q1[l-1]);
sum[3][ls]+=adv[o]*(q2[mid]-q2[l-1]);
sum[1][rs]+=1ll*adv[o]*(r-mid);
sum[2][rs]+=adv[o]*(q1[r]-q1[mid]);
sum[3][rs]+=adv[o]*(q2[r]-q2[mid]);
adv[ls]+=adv[o],adv[rs]+=adv[o];
adv[o]=0;
}
void add(int o,int l,int r)
{
if(l>=L&&r<=R)
{
adv[o]+=x;
sum[1][o]+=1ll*x*(r-l+1);
sum[2][o]+=x*(q1[r]-q1[l-1]);
sum[3][o]+=x*(q2[r]-q2[l-1]);
return;
}
pushdown(o,l,r);
if(mid>=L)add(ls,l,mid);
if(mid<R)add(rs,mid+1,r);
pushup(o);
}
void query(int o,int l,int r)
{
if(l>=L&&r<=R)
{
for(int i=1;i<=3;i++)ans[i]+=sum[i][o];
return;
}
pushdown(o,l,r);
if(mid>=L)query(ls,l,mid);
if(mid<R)query(rs,mid+1,r);
pushup(o);
}
long long gcd(long long a,long long b){return !b?a:gcd(b,a%b);}
int main()
{
freopen("2221.in","r",stdin);
freopen("2221.out","w",stdout);
cin>>n>>m;
for(int i=1;i<=n;i++)
{
scanf("%lld",&a[i]);
q1[i]=q1[i-1]+1ll*i;
q2[i]=q2[i-1]+1ll*i*i;
}
while(m--)
{
scanf("%s%lld%lld",&opt,&L,&R);
R--;
if(opt=='C')
{
scanf("%lld",&x);
add(1,1,n);
}
else
{
ans[1]=ans[2]=ans[3]=0;
query(1,1,n);
long long Ans=(R-L+1-R*L)*ans[1]+(L+R)*ans[2]-ans[3],Tot=(R-L+2)*(R-L+1)/2;
long long Gcd=gcd(Ans,Tot);
printf("%lld/%lld\n",Ans/Gcd,Tot/Gcd);
}
}
}