2018年北京师范大学数学分析(762)回忆版

1  求f(x)=xsin(lnx)的导数和二阶导数

2证明f(x)=(1+1/x)∧x在(0,+∞)上单调增

3求f(x)=x∧2+y∧3－3xy的极值点和极值


4设三角级数a0/2+∑(ancosnx+bnsinnx)在R上一致收敛于f(x),证明
(i)对于k∈N，级数

a0coskx/2+∑(ancosnx+bnsinnx)coskx在R上一致收敛

a0coskx/2+∑(ancosnx+bnsinnx)sinkx在R上一致收敛

(ii)
an= 1/π∫(0,2π)f(x)cosnxdx
bn= 1/π∫(0,2π)f(x)sinnxdx

5 区域Ω由y=x∧2－2x,x+y=2,
z=x+y,z=0围成，
(i)把∫∫∫Ω |xyz|dxdydz写成几个累次积分的和(被积函数不能有绝对值)
(ii)设Ω0为{P:P∈Ω,x≥0,y≥0},求∫∫∫Ω0 |xyz|dxdydz.

6证明
(i)f(x)=xarctanx+(sinx)∧2在R上一致连续

(ii)
f(x)=x[arctan(x)](sinx)∧2在R上不一致连续

7给出了两个四元函数F(x,y,u,v),G(x,y,u,v)，
(i)要求证明在(1/2,0,1/2,0)处邻域可以确定隐函数组u(x,y),v(x,y)
(ii)求v对x的偏导数，以及二阶偏导数vxx

8设f(x)是[0,1]上连续的正值函数，对于n∈N+，证明
(i)存在唯一的an∈(1/n,1)使得
∫(1/n,an)f(x)dx=∫(an,1)f(x)dx
(ii)limn→∞an的极限存在

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 1  求f(x)=xsin(lnx)的导数和二阶导数

2证明f(x)=(1+1/x)∧x在(0,+∞)上单调增

3求f(x)=x∧2+y∧3－3xy的极值点和极值


4设三角级数a0/2+∑(ancosnx+bnsinnx)在R上一致收敛于f(x),证明
(i)对于k∈N，级数

a0coskx/2+∑(ancosnx+bnsinnx)coskx在R上一致收敛

a0coskx/2+∑(ancosnx+bnsinnx)sinkx在R上一致收敛

(ii)
an= 1/π∫(0,2π)f(x)cosnxdx
bn= 1/π∫(0,2π)f(x)sinnxdx

5 区域Ω由y=x∧2－2x,x+y=2,
z=x+y,z=0围成，
(i)把∫∫∫Ω |xyz|dxdydz写成几个累次积分的和(被积函数不能有绝对值)
(ii)设Ω0为{P ∈Ω,x≥0,y≥0},求∫∫∫Ω0 |xyz|dxdydz.

6证明
(i)f(x)=xarctanx+(sinx)∧2在R上一致连续

(ii)
f(x)=x[arctan(x)](sinx)∧2在R上不一致连续

7给出了两个四元函数F(x,y,u,v),G(x,y,u,v)，
(i)要求证明在(1/2,0,1/2,0)处邻域可以确定隐函数组u(x,y),v(x,y)
(ii)求v对x的偏导数，以及二阶偏导数vxx

8设f(x)是[0,1]上连续的正值函数，对于n∈N+，证明
(i)存在唯一的an∈(1/n,1)使得
∫(1/n,an)f(x)dx=∫(an,1)f(x)dx
(ii)limn→∞an的极限存在
来源: 2018年北京师范大学数学分析(762)回忆版