[分块][bitset][RMQ]区间

• 源自 ditoly 大爷的 FJ 省队集训模拟赛题

  Statement

• 给定一个长度为 \(n\) 的序列 \(a\) ，有 \(m\) 次询问

• 每次询问给出一个 \(k\) ，再给出 \(k\) 个区间

• 求出原序列的这 \(k\) 个区间的并集中，出现了多少种不同的数

• 强制在线

• \(1\le n,m,\sum k,a_i\le10^5\) ，时限 \(1\text{s}\) ，空限 \(8\text{MB}\)

  第一步：主要思路

• 考虑使用 bitset 维护每个数是否出现过

• 每次询问时，可以求出给出的所有区间的 bitset 之后或起来

• 区间的 bitset 可以用数据结构来维护

• 然而用平常的方式维护显然是过不了空间的，值域分段也不能用（强制在线）

  第二步：优化空间

• 尝试思考如何维护 bitset 才能把空间卡进 \(8\text{MB}\)

• 考虑把序列分成 \(64\) 块，对于任意 \(1\le l\le r\le 64\) 求出第 \(l\) 到第 \(r\) 块的 bitset

• 这样求一个区间的 bitset 就可以把整块的部分直接利用维护的信息，剩余的部分暴力了

• 但这样空间仿佛还是开不下

• 不过把这 \(64\) 块的区间 bitset 使用 ST 表进行维护之后，整块的 bitset 就能表示成两个 bitset 的或，这样就可以通过空间限制了

• 时空复杂度略

  第三步：常数优化

• 考虑一个数，如果它在整个序列中只出现一次，那么对于这个数是否有贡献，我们只需考虑这个数在给定区间并集中的出现次数

• 这样对于所有的 \(1\le i\le n\) ，求出 \(is_i\) 表示 \(a_i\) 是否在整个序列中只出现一次，那么只出现一次的数的贡献就可以直接用 \(is\) 的前缀和算出来了

• 这样可以减少一半的常数