欧拉函数\(\varphi(n)\)计算小于\(n\)的自然数中和\(n\)互质的数的个数，比如1, 2, 4, 5, 7和8都小于9并且和9素质，因此\(\varphi(9)=6\)。1被认为和所有的正数素质，所以\(\varphi(1)=1\)。
有趣的是，\(\varphi(87109)=79180\)，可以看到87109只是79180的重新排列。
求这样一个\(n\)，其中\(1<n<10^7\)，\(\varphi(n)\)是\(n\)的重新排列且\(n/\varphi(n)\)最小。
分析：上一题我们求了\(n/\varphi(n)\)最大时的\(n\)值，然而这一题要求\(n/\varphi(n)\)最小时的\(n\)值。要使得比值\(n/\varphi(n)\)最大，我们只需要在特定范围内找到一个数，它有最多的质因数即可。反之要使得比值\(n/\varphi(n)\)最小，则这个数的质因数数量应该尽量少。第一种情况是只有一个质因数，则这个数是一个质数，此时\(\varphi(n)=n-1\)，假设\(n\)的个位数为\(d\)，相应的个数为\(c\)，比如在313中有两个三，则\(d=3,c=2\)，则\(\varphi(n)\)中对应\(d\)的数的个数为\(c-1\)，因此两个数不可能互相构成重排列。即当\(n\)是素数时，\(\varphi(n)\)和\(n\)不可能互相构成重排列。
第二种情况是\(n\)有两个质因数\(p,q\)，则\(n=pq\)，则有：
\[ \varphi(n)=pq(1-\frac{1}{p})(1-\frac{1}{q})=(p-1)(q-1) \]
当进一步增加质因数数量时，\(n/\varphi(n)\)会进一步增大，所以要想\(n/\varphi(n)\)最小，则\(n\)应该只有两个质因数。在确定\(n\)只有两个质因数后，为使得\(n/\varphi(n)\)最小，则\(\varphi(n)\)应该足够大，即\(p,q\)应该足够大且\(n=pq<10^7\)。为保证这一点，我们应以\(\sqrt{10^7}\approx3162\)为中心，向两边拓展确定一个区间，在这个区间里选取不同的素数对\(p,q\)，使得\(pq<10^7\)且\(pq\)和\((p-1)(q-1)\)互为重排列，最后我们选择使得\(\frac{pq}{(p-1)(q-1)}\)最小的\(p,q\)，计算\(pq\)即为题目所求。
# time cost = 47.4 ms ± 847 µs
from sympy import primerange
def main():
is_permutation = lambda x,y : "".join(sorted(str(x))) == "".join(sorted(str(y)))
primes = list(primerange(2000,4000))
dt = {(x*y,(x-1)*(y-1)):((x*y)/((x-1)*(y-1))) for x in primes for y in primes if x*y<10**7}
for n,phi_n in sorted(dt,key=dt.get):
if is_permutation(n,phi_n):
return n