Project-Euler-048

048题：

题意：

​ 十项的自幂级数求和为 1^1 + 2^2 + 3^3 + … + 10^10 = 10405071317。

​ 求如下一千项的自幂级数求和的最后10位数字：1^1 + 2^2 + 3^3 + … + 1000^1000

思路：

​ 设mod为1e10，根据同余定理，我们可以利用快速幂求i^i关于mod的模。但是有一个问题，就是快速幂中存在两数先相乘再取余mod的过程，可能两数在相乘时就爆long long了。因此，我们可以通过一个小技巧来防治爆long long。

​ 对于a * b % mod，我们设k为1e5，那么一定存在a = ik + j，b = pk + q （其中i = a / k，j = a % k，p = b / k，q = b % k）

​ 把a和b带入原式，得到：

a * b % mod = (ik + j) * (pk + q) % mod
			= (ipk^2 + iqk + jpk + jq) % mod

​ 由于ipk^2,iqk,jpk,jq都在longlong范围内，因此解决了爆longlong问题

代码：

#include <stdio.h>
#include <string.h>
#include <inttypes.h>
#define d int32_t
#define r return
#define ll int64_t
#define t (ll)1e5
#define mod (ll)1e10
#define For(i, star, endd) for(d i = star; i <= endd; i++)

//乘法防爆longlong
ll mul (ll a, ll b) {
    ll ans = 0;
    ll i = a / t;
    ll j = a % t;
    ll p = b / t;
    ll q = b % t;
    ans = (i * p % mod * t % mod *t % mod + i * q % mod * t % mod + j * p % mod * t % mod + j * q % mod) % mod;
    r ans;
}

//快速幂
ll quick(ll a, ll b) {
    ll ans = 1;
    while (b) {
        if (b & 1) ans = mul(ans, a);
        b >>= 1;
        a = mul(a, a);
    }
    r ans;
}

//循环球i^i
ll work() {
    ll ans = 0;
    For(i, 1, 1000) {
        ans = (ans + quick(i, i)) % mod;
    }
    r ans;
}

d main()
{
    ll ans = work();
    printf("%" PRId64 "\n", ans);
    r 0;
}

最后结果为：9110846700

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