已知 $f(x)=|x^3+ax+b|\ (a,b\in\mathbb R)$，若对任意的 $x_1,x_2\in[0,1]$，$f(x_1)-f(x_2)\leq 2|x_1-x_2|$
恒成立，则 $a$ 的取值范围是_______
解 令 $g(x)=x^3+ax+b$，存在 $\delta_1,\delta_2\in(0,1)$，使得 $g(x)$ 在 $[0,\delta_1]$ 和 $[\delta_2,1]$ 上不变号.
根据题意，对任意的 $x_1,x_2\in[0,\delta_1]$ 且 $x_1\ne x_2$，都有
\[ \left|\frac{f(x_1)-f(x_2)}{x_1-x_2}\right|=\left|\frac{g(x_1)-g(x_2)}{x_1-x_2}\right|\]
\[=|x_1^2+x_2^2+x_1x_2+a|\leq 2\]
令 $x_1=0,x_2\to0$，得 $a\geq-2$.
同理，对任意的 $x_1,x_2\in[\delta_2,1]$ 且 $x_1\ne x_2$，都有
\[|x_1^2+x_2^2+x_1x_2+a|\leq 2,\]
令 $x_2=1,x_1\to1$，得 $a\leq-1$.
另一方面，当 $-2\leq a\leq -1$ 时，对任意的 $x_1,x_2\in[0,1]$，都有
\[f(x_1)-f(x_2)\leq |x_1^3+ax_1+b-x_2^3-ax_2-b)|\]
\[=|x_1^2+x_2^2+x_1x_2+a||x_1-x_2|\leq 2|x_1-x_2|.\]
所以 $a$ 的取值范围为 $[-2,-1]$.