以 $d(x)$ 表示正整数 $x$ 的十进制表示的数位之和。熟知下列关于 $d(x)$ 的结论：
$d(x) \equiv x \pmod{9}$。从而对于任意正整数列 $a_1, a_2, \dots, a_n$ 有 $\sum_{i=1}^{n} d(a_i) \equiv d(\sum_{i=1}^{n}a_i) \pmod{9}$。
十进制下，在正整数 $a,b$ 相加的过程中，每发生一次进位数位之和减少 $9$。因而有 $d(a + b) = d(a) + d(b) - 9c(a, b)$。$c(a, b)$ 表示十进制下 $a, b$ 相加发生的进位次数。
十进制下 $k$ 个连续的 1 可表为 $\frac{10^{k} - 1}{9}$。$x = \sum_{i=1}^{n} \frac{10^{k_i} - 1}{9}$ 即 $9x + n = \sum_{i=1}^{n} 10^{k_i}$。题目所问相当于 $\arg\min_{n} 9x+n = \sum_{i=1}^{n} 10^{k_i}$。根据引理一，$n$ 必须满足 $d(9x+n) \equiv n \pmod{9}$（即 $d(n) \equiv n \pmod{9}$）。另外，不难证明，任意正整数 $y$ 都可表为 $\sum_{i=1}^{m} 10^{e_i}$ 且 $m \ge d(y)$。因此，还必须有 $n \ge d(9x+n)$。我们可以证明，这两个必要条件是充分条件。
证明：考虑 $9x+n$ 个 “1” 相加过程，我们知道这个过程中总共发生了 $C = \frac{9x+n - d(9x+n)}{9}$ 次进位。实际上我们可以安排计算过程使得发生 $0$ 到 $C$ 之间的任意次进位。要想使得 $9x + n = \sum_{i=1}^{n} 10^{k_i}$ 只要安排 $\frac{9x+n - n}{9} = x$ 次进位就可以了。举个例子说明所谓“安排若干次进位”是什么意思。考虑 $200$ 个 “1” 相加的过程。假设要安排 $12$ 次进位。我们可以拿出 $10$ 个 “1” 相加，这样就在个位安排了一次进位，剩下一个 “10” 和 $190$ 个 “1”，再拿出十个 “1” 相加则又安排了一次进位，剩下两个 “10” 和 $180$ 个 “1”，如此操作十次可安排十次进位，剩下十个 “10” 和一百个 “1”，然后我们把十个 “10” 相加，在十位安排一次进位，共 $11$ 次进位，剩下一个 “100” 和一百个 “1”，最后再拿出十个 “1” 相加，在个位安排一次进位。这样一共安排了 $12$ 次进位，剩下一个 “100”、一个 “10” 和 $90$ 个 “1”。
另外我们可以给出 $n$ 的上界，$n < d(9x) + 10$。令 $t = 9x$，注意到 $d(t) \equiv 0\pmod{9}$。反复进行下列操作直到 $t$ 变成零：$t \to t+ 1$，$t \to t - 10^{h}$，$h$ 表示 $t$ 的十进制表示的最高位，例如，若 $t = 234$ 则 $h = 2$。注意到每次操作过后 $d(t)\bmod 9$ 不变。因此，每次操作之前必有 $t\ge 10$，因而有 $h\ge 1$。 在 $t \to t+1$ 这一步，$d(t)$ 至多增加 $1$，而 $t \to t-10^h$ 这一步，$d(t)$ 恰好减少 $1$。另外，每 $10$ 次操作之中，必有一次 $t \to t+1$ 使个位发生进位，这次操作过后 $d(t)$ 至少减少 $10$。因此每 $10$ 次操作过后 $d(t)$ 至少减少 $10$，于是有 $ n < d(9x) + 10$。
注：本文参考了源曲明的题解。