洛谷 P2827 蚯蚓

JDOJ 3140: [NOIP2016]蚯蚓 D2 T2

Description

本题中，我们将用符号⌊c⌋表示对c向下取整，例如：⌊3.0⌋=⌊3.1⌋=⌊3.9⌋=3。

蛐蛐国最近蚯蚓成灾了！隔壁跳蚤国的跳蚤也拿蚯蚓们没办法，蛐蛐国王只好去请神刀手来帮他们消灭蚯蚓。

蛐蛐国里现在共有n只蚯蚓（n为正整数)。每只蚯蚓拥有长度，我们设第i只蚯蚓的长度为ai(i=1,2,...,n)，并保证所有的长度都是非负整数（即:可能存在长度为0的蚯蚓）。

每一秒，神刀手会在所有的蚯蚓中，准确地找到最长的那一只（如有多个则任选一个）将其切成两半。神刀手切开蚯蚓的位置由常数p(是满足0<p<1的有理数)决定，设这只蚯蚓长度为x，神刀手会将其切成两只长度分别为⌊px⌋和x−⌊px⌋的蚯蚓。特殊地，如果这两个数的其中一个等于0，则这个长度为0的蚯蚓也会被保留。此外，除了刚刚产生的两只新蚯蚓，其余蚯蚓的长度都会增加q(是一个非负整常数)。

蛐蛐国王知道这样不是长久之计，因为蚯蚓不仅会越来越多，还会越来越长。蛐蛐国王决定求助于一位有着洪荒之力的神秘人物，但是救兵还需要m秒才能到来......

(m为非负整数）

蛐蛐国王希望知道这m秒内的战况。具体来说，他希望知道：

•m秒内，每一秒被切断的蚯蚓被切断前的长度（有m个数）

•m秒后，所有蚯蚓的长度（有n+m个数)。

蛐蛐国王当然知道怎么做啦！但是他想考考你......

Input

第一行包含六个整数n,m,q,u,v,t，其中：n,m,q的意义见【问题描述】；u,v,t均为正整数；你需要自己计算p=u/v(保证0<u<v)t是输出参数，其含义将会在【输出格式】中解释。

第二行包含n个非负整数，为a1,a2,...,an，即初始时n只蚯蚓的长度。

同一行中相邻的两个数之间，恰好用一个空格隔开。

保证1<=n<=105，0<m<7*106，0<u<v<109，0<=q<=200，1<t<71，0<ai<108。

Output

第一行输出⌊mt⌋个整数，按时间顺序，依次输出第t秒，第2t秒，第3t秒……被切断蚯蚓（在被切断前）的长度。

第二行输出⌊n+mt⌋个整数，输出m秒后蚯蚓的长度；需要按从大到小的顺序，依次输出排名第t，第2t，第3t……的长度。

同一行中相邻的两个数之间，恰好用一个空格隔开。即使某一行没有任何数需要输出，你也应输出一个空行。

请阅读样例来更好地理解这个格式。

Sample Input

3 7 1 1 3 1 3 3 2

Sample Output

3 4 4 4 5 5 6 6 6 6 5 5 4 4 3 2 2

HINT

【样例解释】
在神刀手到来前：3只蚯蚓的长度为3,3,2。
1秒后：一只长度为3的蚯蚓被切成了两只长度分别为1和2的蚯蚓，其余蚯蚓的长度增加了1。最终4只蚯蚓的长度分别为(1,2),4,3。括号表示这个位置刚刚有一只蚯蚓被切断
2秒后：一只长度为4的蚯蚓被切成了1和3。5只蚯蚓的长度分别为：2,3,(1,3),4。
3秒后：一只长度为4的蚯蚓被切断。6只蚯蚓的长度分别为：3,4,2,4,(1,3)。
4秒后：一只长度为4的蚯蚓被切断。7只蚯蚓的长度分别为：4,(1,3),3,5,2,4。
5秒后：一只长度为5的蚯蚓被切断。8只蚯蚓的长度分别为：5,2,4,4,(1,4),3,5。
6秒后：一只长度为5的蚯蚓被切断。9只蚯蚓的长度分别为：（1,4),3,5,5,2,5,4,6。
7秒后：一只长度为6的蚯蚓被切断。10只蚯蚓的长度分别为：2,5,4,6,6,3,6,5,(2,4)。所以，7秒内被切断的蚯蚓的长度依次为3,4,4,4,5,5,6。7秒后，所有蚯蚓长度从大到小排序为6,6,6,5,5,4,4,3,2,2

【子任务】

Source

NOIP2016提高组

题解：

一看就是一道优先队列的题。为了专业起见，我们还是说这道题是一道“堆”的题...

关于堆和优先队列的相关知识，如有不会请点击这里：

详解Priority_queue

有人会问优先队列和排序有什么区别？答案就是排序只能静态维护一个序列的顺序，而优先队列可以动态维护。当然，二者也有优缺点，比如，优先队列并不支持随机访问，只能查询堆顶的值。但排序支持。

所以我们看一下这道题，对于一条已经被切开的蚯蚓，我们完全可以把它俩再变成两条独立的蚯蚓再给压回优先队列中去。于是我们发现一个问题：没办法维护“蚯蚓一直在长”这个条件。但是我们发现，有的蚯蚓在长，有的蚯蚓没有在长，既然同时维护两个条件比较费劲，我们可以通过手段变成只维护一个条件：从这道题来讲，我们发现，大家在长就你不长，相当于大家都没长就你变短了（不进则退么）。

所以我们使用优先队列模拟，用变量\(k\)来模拟增长量，这个量是不停增加的，所以我们拿出来砍的那条蚯蚓就应该再减去一个\(q\)，最后输出长度的时候再加回来即可。

这样的话，加读入优化后的代码就是85分的：

#include<cstdio>
#include<queue>
#include<cmath>
using namespace std;
int n,m,q,u,v,t,k;
double p;
priority_queue<int> pq;
char *p1,*p2,buf[100000];
#define nc() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,100000,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
int read()
{
    int x=0,f=1;
    char ch=nc();
    while(ch<48){if(ch=='-')f=-1;ch=nc();}
    while(ch>47)    x=(((x<<2)+x)<<1)+ch-48,ch=nc();
    return x*f;
}
int main()
{
    n=read(),m=read(),q=read(),u=read(),v=read(),t=read();
    p=(double)u/v;
    for(int i=1;i<=n;i++)
    {
        int x;
        x=read();
        pq.push(x);
    }
    for(int i=1;i<=m;i++)
    {
        int tmp=pq.top()+k;
        pq.pop();
        int x1=floor(p*(double)tmp);
        int x2=tmp-x1;
        x1-=(k+q),x2-=(k+q);
        pq.push(x1);
        pq.push(x2);
        if(!(i%t))
            printf("%d ",tmp);
        k+=q;   
    }
    puts("");
    for(int i=1;!pq.empty();i++)
    {
        if(!(i%t))
            printf("%d ",pq.top()+k);
        pq.pop();
    }
    return 0;
}

至于100分的代码，需要发现题目中隐藏的单调性：

根据输入输出以及n、m的数据范围可以知道，需要在每秒进行切割时找出当前最大值，这时你就会发现枚举和堆、单调队列等查找/维护最大值的方法是超时的。这时就诞生了队列三兄弟q1、q2和q3，如果q1开始时单调递减，每次取出最大值，然后将这个蚯蚓分开，把其中大的一部分压入q2，小的一部分压入q3，显然，此时q1、q2和q3都是单调递减的（所以每次的取出操作就可以是：在q1、q2、q3的队首取出最大的一个）。

代码：

#include<queue>
#include<cstdio>
#include<iostream>
#include<algorithm>
#define ll long long
using namespace std;
ll n,m,q,u,v,t,a[7500000],ans[7500000],s=0,y=0,tot=0;
queue<ll> q1,q2,q3;
char *p1,*p2,buf[100000];
#define nc() (p1==p2&&(p2=(p1=buf)+fread(buf,1,100000,stdin),p1==p2)?EOF:*p1++)
int read()
{
    int x=0,f=1;
    char ch=nc();
    while(ch<48){if(ch=='-')f=-1;ch=nc();}
    while(ch>47)    x=(((x<<2)+x)<<1)+ch-48,ch=nc();
    return x*f;
}
ll getmax()
{
    int x1=-(1<<30),x2=x1,x3=x1;
    if(!q1.empty())
        x1=q1.front();
    if(!q2.empty())
        x2=q2.front();
    if(!q3.empty())
        x3=q3.front();
    if(x1>=x2&&x1>=x3)
    {
        q1.pop();
        return x1;
    }
    else if(x2>=x1&&x2>=x3)
    {
        q2.pop();
        return x2;
    }
    q3.pop();
    return x3;
}
void put(ll x1,ll x2)
{
    if(x1<x2)
    {
        int z=x1;
        x1=x2;
        x2=z;
    }
    q2.push(x1);
    q3.push(x2);
    return;
}
bool cmp(ll x,ll y)
{
    return x>y;
}
inline void write(ll x)
{
    if(x<0)putchar('-'),x=-x;
    if(x>9)write(x/10);
    putchar(x%10+'0');
    return;
}
int main()
{
    n=read(),m=read(),q=read(),u=read(),v=read(),t=read();
    for(ll i=1;i<=n;i++)
        a[i]=read();
    sort(a+1,a+n+1,cmp);
    for(ll i=1;i<=n;i++)
        q1.push(a[i]);
    for(ll i=1;i<=m;i++)
    {
        ans[i]=getmax()+y;
        int j=ans[i]*u/v,k=ans[i]-j;
        y+=q;
        put(j-y,k-y);
    }
    while(!q1.empty()||!q2.empty()||!q3.empty())
        a[++tot]=getmax()+y;
    for(int i=t;i<=m;i+=t)
        write(ans[i]),putchar(' ');
    puts("");
    for(int i=t;i<=tot;i+=t)
        write(a[i]),putchar(' ');
    puts("");
    return 0;
}

NOIP 2013 蚯蚓