Part 4 : 同余
定义：见这里。
Topic 1 : 关于取模
首先推一个很简单的式子：
$$ab\; \mod c=(a \mod \;c) \;\cdot\; b \mod \;c$$
证明：
易知 $a=\lfloor \frac{a}{c} \rfloor \cdot c+a \mod c.$
所以：
$$ab \mod c$$
$$=(\lfloor \frac{a}{c} \rfloor \cdot c \mod \;c\;+\;a \mod c )\;\cdot\; b \mod c$$
$$=0\;+\;a\mod \;c\; \cdot \;b \mod c$$
$$=(a\mod \;c)\; \cdot \;b \mod c.$$
Topic 2 : 完全平方数的特征
① $a^2 \mod 3=0\;\;or\;\;1.$
证明：
当 $3 \mid a$ 时，显然 $3 \mid a^2$；
当 $a \mod 3 = 1$ 时，设 $a=3k+1$，$k$ 为整数，那么
$$a^2$$
$$=9k^2+6k+1$$
$$=3(3k^2+2k)+1.$$
所以，此时 $a^2 \mod 3=1$；
当 $a \mod 3 = 2$ 时，设 $a=3k+2$，$k$ 为整数，那么
$$a^2$$
$$=9k^2+12k+4$$
$$=3(3k^2+4k+1)+1.$$
所以，此时 $a^2 \mod 3=1$。
综上，对于任意整数 $a$，均满足如上性质。