题解 P4443 【[COCI2017-2018#3] Dojave】

orz deco，哈希新知识get

Solution [COCI2017-2018#3] Dojave

题目大意:给定一长为\(n\)的\(0-(2^n-1)\)的全排列，问有多少个连续子序列可以通过交换任意两个数使得其异或和为\(2^n-1\)

哈希

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分析：

首先不考虑限制有\(\frac{n \times (n+1)}{2}\)个连续子序列，正难则反，我们考虑有多少个连续子序列不合法

一段连续子序列不合法的充要条件是这段连续子序列的长度是\(4\)的倍数并且连续子序列里面的数两两异或为\(2 ^ n-1\)

证明：

设\(S\)为一段区间异或和，\(t\)为\(S\;xor\;(2^n-1)\)，定义如果\(x,y\)配对有\(x\;xor\;y=t\)

长为奇数一定合法，你一定找得到一个元素，和它配对的元素在区间外

长为偶数，如果有数字没有配对一定合法

如果有奇数个配对，不妨设有\(3\)对

则\(S=t\;xor\;t\;xor\;t=t=S\;xor\;(2^n-1)\)，不存在

那么如果长为\(4\)的倍数并且两两配对，那么不合法

所以不合法的只有长为\(4\)倍数并且两两配对的，这个可以用哈希来做

我们认为如果一段长为\(4\)倍数的区间异或和为\(0\)那么两两配对，但是这样容易被卡

可以将一个数以及和它配对的那个数都换成一个很大的随机数，然后再用双哈希就可以保证正确性了

长为\(2\)有两对，注意特判

#include <cstdio>
#include <cctype>
#include <cstdlib>
#include <map>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 23;
inline int read(){
    int x = 0;char c = getchar();
    while(!isdigit(c))c = getchar();
    while(isdigit(c))x = x * 10 + c - '0',c = getchar();
    return x;
}
map<pair<int,int>,int> mp[4];
int n,inf,val[1 << maxn],sum[1 << maxn][2],pos[1 << maxn];
long long ans;
int main(){
    n = 1 << read(),inf = n - 1;
    if(n == 2)return puts("2"),0;
    for(int i = 1;i <= n;i++)val[i] = read(),pos[val[i]] = i;
    for(int i = 1;i <= n;i++){
        sum[i][0] = sum[pos[val[i] ^ inf]][0] = rand() | rand() << 15;
        sum[i][1] = sum[pos[val[i] ^ inf]][1] = rand() | rand() << 15;
    }
    for(int i = 1;i <= n;i++)sum[i][0] ^= sum[i - 1][0],sum[i][1] ^= sum[i - 1][1];
    ans = (long long)n * (n + 1) >> 1;
    mp[0][make_pair(0,0)] = 1;
    for(int i = 1;i <= n;i++){
        int opt = i % 4;
        pair<int,int> pai = make_pair(sum[i][0],sum[i][1]);
        ans -= mp[opt][pai];
        mp[opt][pai]++;
    }
    printf("%lld\n",ans);
    return 0;
}