关于lowbit运算的相关知识
本篇随笔简单讲解一下计算机中位运算的一类重要运算方式——\(lowbit\)运算。
lowbit的概念
我们知道，任何一个正整数都可以被表示成一个二进制数。如：
\[ (2)_{10}=(10)_2 \]
\[ (4)_{10}=(100)_2 \]
\[ \cdots \]
那么定义一个函数\(f=lowbit(x)\)，这个函数的值是\(x\)的二进制表达式中最低位的\(1\)所对应的值。
比如:
\[ (6)_{10}=(110)_2 \]
那么\(lowbit(6)\)就等于\(2\)，因为\((110)_2\)中最低位（就是从右往左数的第二位）对应的数是\(2^1=2\)
所以假设一个数的二进制最低位的\(1\)在从右往左数的第\(k\)位，那么它的\(lowbit\)值就是
\[ 2^{k-1} \]
lowbit函数的实现
lowbit函数实现有两种方式：
一、
x&(x^(x-1))
二、
x&-x
简单解释一下：
我们得到lowbit的值，只需要得到最后一个1的位置，并且把除了这个位置之外的所有位置全部置成零。然后输出就可以。
那么我们看一看x&(x^(x-1))
拿上面的6举例：
\[ (110)_2-1=(101)_2 \]
我们发现，根据小学数学减法运算的借位原则（滑稽），对一个二进制数进行减1，那么会出现从这个这个数的最后一个1开始到最后的所有数都取反，即构成一个\(01111\cdots\)的串。
我们把这个数与原数异或，就会造成：第一个1以后的数（包括第一个1）全部取1.其他的位全部取0.即构成一个由一堆0后面跟一堆1的串。
那么再把原式做一个与运算，那么除了原来的那个1（对应位都是1）为1，其他位全是0，完成任务。
那么我们再看一看x&-x
根据计算机补码的性质。
补码就是原码的反码加一
如：
\[ (110)_2=6 \]
反码：
\[ (001)_2 \]
加一：
\[ (010)_2 \]
可以发现变为反码后 x 与反码数字位每一位都不同， 所以当反码加1后神奇的事情发生了，反码会逢1一直进位直到遇到0，且这个0变成了1，所以这个数最后面构造了一个 100… 串。 由于是反码，进位之后由于1的作用使进位的部分全部取反及与原码相同，所以可以发现 lowbit 以前的部分 x 与其补码即 -x 相反， lowbit x 与 -x 都是1，lowbit 以后 x 与 -x 都是0 所以 x&-x 后除了 lowbit 位是1，其余位都是0。符合条件。
用lowbit运算统计1的个数
我们可以使用lowbit运算统计一个整数的二进制形式下1的个数。
实现原理很简单啦，就是：我们先用lowbit运算找出\(lowbit(x)\)，然后用原数减去这个数，依次循环，直到为0为止。
这也是树状数组的实现原理。
代码：
while(x)
{
x-=x&-x;
ans++;
}（巨短无比）
lowbit运算的应用
关于lowbit运算，最著名的应用应该算是树状数组。但是lowbit的神妙远远不止树状数组，在很多二进制和位运算的相关题目中，都有lowbit运算的影子。甚至，在状态压缩DP中，lowbit也扮演着一份不可忽视的角色。