2019 Multi-University Training Contest 5 - 1007 permutation 2

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题目链接

题意：
给你N个数，范围是 [1 , N]， 数与数之间两两不相同，现在要你将这些数排序，使得第一个数为x，第N个数为y，且相邻两个数的差 |aj - ai| <= 2，输出总共有多少种情况。

比赛时队友写了个暴力，找到其中一些规律，对于N，x，y，其前x+1个数，后N-y+2个数总是保持不变的，比如20，4，16，那么所有情况肯定是4,2,1,3,5,…,15,17,19,20,18,16.在变的只是中间数而已。
特判：当x=1或者y=N时，保持不变的只有第一个数或最后一个数。

画图可知：
从x出发到y，必先向前走，每次走两格留一条路给自己回来，所以4，2固定，如果走4，3就没有路回来了，回去到y也必经过1，3，5，同理，反推y，要到达y，必定是从N到达y，每次也都是两格两格走，所以从N到y的路径是20，18，16，然后15，17，19也同理固定，因此所有情况肯定是4,2,1,3,5,…,15,17,19,20,18,16.
所以可转化为x+1到y-1有多少种，其中x+1，y-1固定，即5到15.

从5开始走，当你走到13，14，15时，须保证前面的路都走完了，因为接下来必须去走15,17,19,20,18,16，而16是真正意义上的终点，到达16后不可继续往14走，所以我们在走的时候，只能一步一步走，或者向后走两步，往前退一步，再往后走两步，即是f(i-1) + f(i-2+1-2).如果走两步后不回头，那么就会断掉自己的路。

所以f(i) = f(i-1) + f(i-3).我们可通过预处理把前1e5个数求出来，然后直接输出f(k).而k = 15 - 5 + 1.假设l = x + 1, r = y - 1, 则 k = r - l + 1.

AC_Code:

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;

#define ll long long
#define mod 998244353
const int maxn = 1e5+5;
int t,n,x,y,l,r;
ll a[maxn] = {0,1,1};

void init(){
    for(int i=3; i<=1e5; ++i){
        a[i] = a[i-1] + a[i-3];
        a[i] %= mod;
    }
}

inline void solve(){
    ll sum = 0;
    l = x == 1 ? 1 : x + 1;
    r = y == n ? n : y - 1;
    cout << a[r-l+1] << endl;
}

int main(){
    init();
    cout << a[10];
    while(cin >> t){
        while(t--){
            cin >> n >> x >> y;
            solve();
        }
    }
    return 0;
}