$$\sum_{i=1}^{n} \binom{i}{k}=\binom{n+1}{k+1}$$
证明为高考数学：
（组合数还是写成C好看点）
$$C_{1}^{k}+C_{2}^{k}+C_{3}^{k}+C_{4}^{k}+...+C_{n}^{k}=$$
$$-C_{1}^{k+1}+C_{1}^{k+1}+C_{1}^{k}+C_{2}^{k}+C_{3}^{k}+C_{4}^{k}+...+C_{n}^{k}=$$
$$-C_{1}^{k+1}+C_{n+1}^{k+1}$$
其中$-C_{1}^{k+1}$为0。
得证。