算术天才⑨与等差数列
给出一个长度为 N 的序列，需要支持以下两个操作：
- 单点修改
- 询问每个区间内数字升序排列后是否为等差数列·
N ≤ 100000, M ≤ 200000, datai ≤ 109
题解
若想知道区间内数是否能够成等差数列，显然要求出区间内的最值（即数列首项和末项），则即可算出对应的公差。
注意到若区间内数能成等差数列，则需满足下列中的一项：
- 公差为零；
- 公差不为零，则数列内无相同元素，那么公差为相邻的数值差的最大公因数。
于是需要维护，区间最大值最小值，差分数列的区间 gcd，以及每个数前驱相同元素的位置。维护每个数前驱相同元素的位置可以用 map 套 set。
可能是错的？
维护区间最大值，最小值，和，平方和，然后来判断。
等差数列平方和公式暴力展开就行了。
有人说能卡掉？
typedef __int128 LL;
CO int N=300000+10;
struct node{
int min,max;
LL sum1,sum2;
};
node operator+(CO node&a,CO node&b){
return (node){
min(a.min,b.min),max(a.max,b.max),
a.sum1+b.sum1,a.sum2+b.sum2
};
}
node tree[4*N];
#define lc (x<<1)
#define rc (x<<1|1)
void build(int x,int l,int r){
if(l==r){
int v=read<int>();
tree[x]=(node){v,v,v,(LL)v*v};
return;
}
int mid=(l+r)>>1;
build(lc,l,mid),build(rc,mid+1,r);
tree[x]=tree[lc]+tree[rc];
}
void change(int x,int l,int r,int p,int v){
if(l==r){
tree[x]=(node){v,v,v,(LL)v*v};
return;
}
int mid=(l+r)>>1;
if(p<=mid) change(lc,l,mid,p,v);
else change(rc,mid+1,r,p,v);
tree[x]=tree[lc]+tree[rc];
}
node query(int x,int l,int r,int ql,int qr){
if(ql<=l and r<=qr) return tree[x];
int mid=(l+r)>>1;
if(qr<=mid) return query(lc,l,mid,ql,qr);
if(ql>mid) return query(rc,mid+1,r,ql,qr);
return query(lc,l,mid,ql,qr)+query(rc,mid+1,r,ql,qr);
}
int main(){
int n=read<int>(),m=read<int>();
build(1,1,n);
int yes=0;
while(m--){
if(read<int>()==1){
int p=read<int>()^yes,v=read<int>()^yes;
change(1,1,n,p,v);
}
else{
int l=read<int>()^yes,r=read<int>()^yes,k=read<int>()^yes;
bool valid=1;
node x=query(1,1,n,l,r);
if(x.max-x.min!=(LL)(r-l)*k) valid=0;
if(x.sum1!=(LL)(x.min+x.max)*(r-l+1)/2) valid=0;
if(x.sum2!=(LL)(r-l+1)*x.min*x.min+(LL)2*k*(r-l)*(r-l+1)/2*x.min
+(LL)k*k*(r-l)*(r-l+1)*(2*r-2*l+1)/6) valid=0;
puts(valid?"Yes":"No"),yes+=valid;
}
}
return 0;
}4302 Interval GCD 0x40「数据结构进阶」例题
描述
给定一个长度为N的数列A，以及M条指令 (N≤5*10^5, M<=10^5)，每条指令可能是以下两种之一：
“C l r d”，表示把 A[l],A[l+1],…,A[r] 都加上 d。
“Q l r”，表示询问 A[l],A[l+1],…,A[r] 的最大公约数(GCD)。
输入格式
第一行两个整数N,M，第二行N个整数Ai，接下来M行每条指令的格式如题目描述所示。
输出格式
对于每个询问，输出一个整数表示答案。
样例输入
5 5 1 3 5 7 9 Q 1 5 C 1 5 1 Q 1 5 C 3 3 6 Q 2 4
样例输出
1 2 4
数据范围与约定
- N,M≤2*10^5，l<=r，数据保证任何时刻序列中的数都是不超过2^62-1的正整数。
分析
根据“更相减损术”，\(gcd(x,y,z)=gcd(x,y-x,z-y)\)，所以
\[ \gcd_{i=l}^r A[l] = \gcd(A[l],\gcd_{i=l+1}^r(A[i]-A[i-1])) \]
所以用线段树维护差分序列的gcd，在线段树上单点修改区间查询；然后是要区间修改单点查询原序列的值，用树状数组维护新差分序列即可。
时间复杂度\(O(M \log N)\)
co int N=5e5+1;
int n,m;
ll a[N],b[N],c[N];
#define lowbit(i) (i&-i)
void add(int p,ll v){
for(;p<=n;p+=lowbit(p)) c[p]+=v;
}
ll ask(int p){
ll re=0;
for(;p;p-=lowbit(p)) re+=c[p];
return re;
}
ll s[N*4];
ll gcd(ll a,ll b) {return b?gcd(b,a%b):a;}
#define lc (x<<1)
#define rc (x<<1|1)
void build(int x,int l,int r){
if(l==r) return s[x]=b[l],void();
int mid=l+r>>1;
build(lc,l,mid),build(rc,mid+1,r);
s[x]=gcd(s[lc],s[rc]);
}
void change(int x,int l,int r,int p){
if(l==r) return s[x]=b[l],void();
int mid=l+r>>1;
if(p<=mid) change(lc,l,mid,p);
else change(rc,mid+1,r,p);
s[x]=gcd(s[lc],s[rc]);
}
ll query(int x,int l,int r,int ql,int qr){
if(ql>qr) return 0;
if(ql<=l&&r<=qr) return s[x];
int mid=l+r>>1;
if(qr<=mid) return query(lc,l,mid,ql,qr);
if(ql>mid) return query(rc,mid+1,r,ql,qr);
return gcd(query(lc,l,mid,ql,qr),query(rc,mid+1,r,ql,qr));
}
int main(){
// freopen("CH4302.in","r",stdin),freopen("CH4302.out","w",stdout);
read(n),read(m);
for(int i=1;i<=n;++i) b[i]=read(a[i])-a[i-1];
build(1,1,n); // edit 1: reserve for changing b[1]
for(int l,r;m--;){
static char op[2];
scanf("%s",op),read(l),read(r);
if(op[0]=='C'){
ll d=read<ll>(); // edit 2
b[l]+=d,change(1,1,n,l),add(l,d);
if(r+1<=n) b[r+1]-=d,change(1,1,n,r+1),add(r+1,-d);
}
else printf("%lld\n",llabs(gcd(a[l]+ask(l),query(1,1,n,l+1,r))));
}
return 0;
}