向量的基本运算专题

本文链接： https://blog.csdn.net/wljoi/article/details/102406695

关于向量

高中数学必修 $4$ 说:

几何向量是线性空间中有大小与方向的量。

放图理解一下：

如上图所示，向量可以形象的用一根箭头表示。箭头所指代表向量的方向，线段的长度代表向量的大小。

在 $OI$ 中，我们简化了一下向量的存储方式及运算法则，我们定义向量为起点为 $(0,0)$ 的一条有方向的线段。由于我们在考虑向量时只考虑其大小与方向，一般不考虑具体位置，故我们将向量平移至坐标系原点处以简化运算。

所以，在之后的讲解中，我们默认向量和点已经被存在了一个结构体里面（向量和点记录的东西都是一个坐标）：

struct Point{
	double x,y;  //注意这个double
};

如果想分清楚具体是点还是向量，那么只需要在结构体后加入一句：

typedef Point Vector;

这样我们就可以只开一个结构体而做到存储两种量。

tips:如果您觉得只用Point即可，那么请将后文的Vector全部视为Point（这样写出来也没有任何问题）

向量的运算法则（具体原理请查阅数学必修 $4$ ）

前置：模长

$|A|$ 表示向量 $A$ 的长度，为一个数。

double Length(const Vector &p){
	return sqrt(p.x*p.x+p.y*p.y);
}

前置：向量的方向

（请暂且忽略 $B$ 以及 $\beta和\gamma$ ，后面要用）
我们设向量 $A$ 为 $(x,y)$ ，那么
$cos(\alpha)=sin(90^。-\alpha)=\frac{x}{|A|}$
$sin(\alpha)=cos(90^。-\alpha)=\frac{y}{|A|}$
那么，我们定义向量 $A$ 的方向为 $w(cos(\alpha),sin(\alpha))。$

点±向量=点

//所有的重载运算符都定义在结构体外部，如果不重载运算符的话会很麻烦
Point operator + (const Point &p,const Vector &q){
	return (Point){p.x+q.x,p.y+q.y};
}
Point operator - (const Point &p,const Vector &q){
	return (Point){p.x-q.x,p.y-q.y};
}

点-点=向量

Vector operator - (const Point &p,const Point &q){
	return (Vector){p.x-q.x,p.y-q.y};
}

友情提示：两个减的操作只需要写一个，如果实在看不顺眼，那么就讲其中一个减号改为另外一个不相冲突的符号。

点+点无意义

向量*常数=向量

Vector operator * (const Vector &p,const double &k){
									  //double很重要！！！
	return (Vector){p.x*k,p.y*k};
}

向量/常数=向量

Vector operator / (const Vector &p,const double &k){
	return (Vector){p.x/k,p.y/k};
}

向量±向量=向量

代码同点±向量

向量的点积

令向量 $X=(x_1,x_2),Y=(y_1,y_2),$ 则有：

定义式： $X* Y=|X|\times|Y|\times cos(\gamma)$ ，其中 $\gamma$ 为 $X,Y$ 的夹角

但更通用的是这样一个式子： $X* Y=|X|\times|Y|\times cos(\gamma)=x_1y_1+x_2y_2$

double Dot (const Vector &p,const Vector &q){
	return p.x*q.x+p.y*q.y;
}

几何意义：A在B所在方向的投影的模长和B的模长的乘积

tips:如果向量 $A,B$ 的点积为 $0$ ，则 $A,B$ 垂直

证明如下：

我们有上面讲到的向量的方向可知，
$cos(\alpha)=\frac{x_1}{|X|},sin(\alpha)=\frac{x_2}{|Y|}$
$cos(\beta)=\frac{y_1}{|X|},sin(\beta)=\frac{y_2}{|Y|}$
由 $\gamma=\alpha-\beta$ 得：
$cos(\gamma)=cos(\alpha-\beta)$
由数学必修4上一个著名公式得：
$cos(\gamma)=cos(\alpha-\beta)=cos(\beta)cos(\alpha)+sin(\beta)sin(\alpha)$
$cos(\gamma)=\frac{x_1}{|X|}\times\frac{y_1}{|Y|}+\frac{x_2}{|X|}\times\frac{y_2}{|Y|}$
$cos(\gamma)=\frac{x_1y_1+x_2y_2}{|X||Y|}$
$X* Y=|X|\times|Y|\times cos(\gamma)=x_1y_1+x_2y_2$

向量的叉积

定义式： $X*Y=|X|\times|Y|\times sin(\gamma)$

通用的式子： $X*Y=|X|\times|Y|\times sin(\gamma)=x_1y_2-x_2y_1$

double Cross (const Vector &p,const Vector &q){
	return p.x*q.y-q.x*p.y;
}

证明大体同上，需要用到另一个著名的式子：

$sin(α-β)=sin(α)cos(β)-cos(α)sin(β)$

几何意义：A转到B所夹平行四边形的有向面积

简单地解释一下：

在 $A,B$ 不共线的情况下，如果 $A$ 在 $B$ 上面，那么它们的叉积就小于 $0,$ 反之则大于 $0$ 。

如果 $A,B$ 共线，那么它们的叉积就等于 $0$ 。

基础运算完整代码

struct Point{
	double x,y;
};
typedef Point Vector; 
Point operator + (const Point &p,const Vector &q){
	return (Point){p.x+q.x,p.y+q.y};
}
Vector operator - (const Point &p,const Point &q){
	return (Vector){p.x-q.x,p.y-q.y};
}
Vector operator * (const Vector &p,const double &k){
	return (Vector){p.x*k,p.y*k};
}
Vector operator / (const Vector &p,const double &k){
	return (Vector){p.x/k,p.y/k};
}
double Dot (const Vector &p,const Vector &q){
	return p.x*q.x+p.y*q.y;
}
double Cross (const Vector &p,const Vector &q){
	return p.x*q.y-q.x*p.y;
}
double Length(const Vector &p){
	return sqrt(Dot(p,p));
}