算法第3章小结

动态规划

　　基本要素：（1）最优子结构性质　　　　（2）重叠子问题性质

　　步　　骤：（1）找出最优解的性质，并刻画其结构特征

　　　　　　　（2）递归地定义最优值

　　　　　　　（3）以自底向上的方式计算最优值

　　　　　　　（4）根据计算最优值时的信息构造最优解

　　自底向上的填表方法：（1）表的维数

　　　　　　　　　　　　（2）填表范围

　　　　　　　　　　　　（3）填表顺序

　　【例1】矩阵连乘问题

void MatixChain(int *p, int n, int **m, int **s){
　　for(int i = 1; i <= n; i++)
　　　　m[i][i] = 0;
　　for(int r = 2; r <= n; r++){
　　　　for(int i = 1; i <= n-r+1; i++){
　　　　　　int j = i+r-1;
　　　　　　m[i][j] = m[i+1][j] + p[i-1] * p[i] * p[j];
　　　　　　s[i][j] = i;
　　　　　　for(int k = i + 1; k < j; k++){
　　　　　　　　int t = m[i][k] + m[k+1][j] + p[i-1] * p[i] * p[j];
　　　　　　　　if(t < m[i][j]){
　　　　　　　　　　m[i][j] = t;
　　　　　　　　　　s[i][j] = k;
　　　　　　　　}

　　　　　　}
　　　　}
　　}
}

　　【动态规划——备忘录法】使用备忘录方法，直接将递归算法的计算时间从O（2ⁿ）降至O（n³）.

　　【例2】最长公共子序列

　　（1）计算最优解（由于每个数组单元的计算耗费O（1）时间，故此算法耗时O（mn））

　　（2）构造最长公共子序列　　（打印出序列）

　　【例3】最大子段和

　　　　　/*需要O（mn²）计算时间和O（mn）空间*/

　　动态规划算法与分治法类似，其基本思想是将等待求解的问题分解成若干子问题，先求解子问题，再结合子问题的解得到原问题的解。不同的是，适用于动态规划求解的问题经过分解得到的子问题往往不是独立的，为避免大量运算，借助一个表记录所有已解决的子问题的答案，不管是否用得到。

　　解决动态规划相关问题时，应先写出其递归方程，然后决定其填表方式以及顺序等。

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