洛谷 P5596 【XR-4】题
题目描述
小 X 遇到了一道题：
给定自然数 a,ba,b，求满足下列条件的自然数对 (x,y)(x,y) 的个数：
y^2 - x^2 = ax + by2−x2=*a**x+b*
他不会，只好求助于精通数学的你。
如果有无限多个自然数对满足条件，那么你只需要输出 inf 即可。
输入格式
一行两个整数 a,ba,b。
输出格式
如果个数有限，一行一个整数，表示个数。
如果个数无限，一行一个字符串 inf。
输入输出样例
输入 #1复制
输出 #1复制
输入 #2复制
输出 #2复制
输入 #3复制
输出 #3复制
输入 #4复制
输出 #4复制
输入 #5复制
输出 #5复制
说明/提示
【样例 1 说明】
(x,y) = (6,9)(x,y)=(6,9)
本题采用捆绑测试。
- Subtask 1（3 points）：a = b = 0a=b=0。
- Subtask 2（6 points）：0 \le a,b \le 20≤a,b≤2，不存在无限个数的情况。
- Subtask 3（9 points）：0 \le a,b \le 1000≤a,b≤100，不存在无限个数的情况。
- Subtask 4（13 points）：0 \le a,b \le 10^30≤a,b≤103，不存在无限个数的情况。
- Subtask 5（14 points）：0 \le a \le 10^40≤a≤104，0 \le b \le 10^70≤b≤107。
- Subtask 6（14 points）：a = 0a=0。
- Subtask 7（14 points）：b = 0b=0。
- Subtask 8（27 points）：无特殊限制。
对于 100%100% 的数据，0 \le a \le 10^80≤a≤108，0\le b \le 10^{15}0≤b≤1015。
题解：
这篇题解即将刷新本蒟蒻写的最认真的数学题解的记录。
蒟蒻太菜了考试的时候只拿了18分
蒟蒻一开始的时候是这么想的：
观察原方程：
\[ y^2-x^2=ax+b \]
把它转化成函数形式：
\[ y=\sqrt{x^2+ax+b} \]
因为\(x,y\in N\)，所以我一下子就想到了完全平方数这个东西。
如果能把右侧的部分换成这样的形式：
\[ \sqrt{(x+k)^2}，k\in N \]
那就显然会有无数组解。
然后我们展开，变成：
\[ \sqrt{x^2+2kx+k^2},k\in N \]
和上面的对应上，就能列出一个等式关系：
当\(2k=a,k^2=b\)的时候，有无数组解。
一联立：
\[ \frac{a}{2}=\sqrt{b} \]
这个时候有无数组解，输出\(inf\)即可。
然后蒟蒻就没有思路了。
冥思苦想了很长时间，最后还是用了暴力枚举，剪枝还剪错了，只好用了最最暴力的两重循环枚举来解决了这个问题。只得了18分。
今天看到了正解，惊喜地发现，我和大佬们的思路竟然重合了那么\(1\%\)，至少我推出来了无解的情况应该是什么样子的，而这种情况正是通往“有解”的情况的大门。
我们这样考虑：
因为原式子是个二元二次方程。这个方程很难搞。
如果我们把它换为一元方程的话，肯定就会容易一些。
但是我们还要求可行解的个数...怎么办呢？
灵光一闪（希望大家记住这个思想）
我们可以构造\(x,y\)的映射关系，这样求出一个合法的\(x\)，肯定就会有一个合法的\(y\)与之对应，我们就可以少搞很多东西。
那么，我们以此入手，分析原式子可得两边均大于等于0.
我们怎么对这个式子进行处理呢？有一个方法被蒟蒻起了个名字：归一法，这个方法通俗一点讲，就是把一个主元用一些辅元表示，然后通过一些辅元的关系和范围等求出主元的解。
那么我们就可以设\(t=y-x,t\in N\).
这样，原式子就被我们搞成了这样：
\[ (x+t)^2-x^2=ax+b \]
整理：
\[ x^2+2tx+t^2-x^2=ax+b \]
再整理：
\[ x=\frac{b-t^2}{2t-a} \]
那么，在有解的范围内（也就是\(a/2\not= \sqrt{b}\)）：
分类讨论：
一、\(\frac{a}{2}<\sqrt{b}\)时，有：
\[ t\in (\frac{a}{2},\sqrt{b}] \]
二、\(\sqrt{b}<\frac{a}{2}\)时，有：
\[ t\in [\sqrt{b},\frac{a}{2}) \]
注意特判分母不得零的情况！！（化身数学班主任）
因为这个\(t\)定义的时候就是关于\(x,y\)的式子，所以当我们找到一个合法的\(t\)，我们就找到了一组解\((x,y)\)。
基于此，我们只需要在\(t\)的范围内循环找可行解即可。
最后强调，代码实现的坑点是取整和特判...
代码：
#include<cmath>
#include<cstdio>
#define int long long
using namespace std;
int a,b,l,r,ans,n;
signed main()
{
scanf("%lld%lld",&a,&b);
r=sqrt(b);
l=a/2;
if(r*r==b && r*2==a)
{
printf("inf");
return 0;
}
else if(a==1 && b==0)
{
printf("1");
return 0;
}
else if(r>=l)
{
for(int i=l+1;i<=r;i++)
if((abs(b-i*i))%(abs(2*i-a))==0)
ans++;
printf("%lld",ans);
return 0;
}
else
{
if(l*2==a)
n=l-1;
else
n=l;
for(int i=r;i<=n;i++)
if((abs(b-i*i))%(abs(2*i-a))==0)
ans++;
printf("%lld",ans);
return 0;
}
}