调整队形「TJOI2007」

题意

给定一个初始的序列以及四种操作，问最少操作多少次可以是序列变为回文序列。

操作如下：

1. 在队伍左侧或右侧添加一个数

2. 在队伍中插入一个数

3. 删除一个数

4. 改变一个数的值

---

思路

看到给定的序列和改数的操作（其实还是因为询问是最少操作次数），可以想到区间dp。

设子状态\(dp[i][j]\)表示将区间\([i,j]\)变为回文序列的最少操作次数。

由于是区间dp，所以2号操作等价于1号操作，而3号操作等价于删除左侧或右侧的数。

有一个简单的性质：1号操作和3号操作也是等价的。

这个正确性不难证明：由于添加数和删除数都是为了将没有配对的数配对，所以在效果上是完全一样的。

于是我们只用考虑两种操作：

1. 添加/删除数

2. 改变数值

对于第一种操作，状态转移方程为

\[ f[i][j]=min(f[i][j],min(f[i+1][j],f[i][j-1])+1)\]

对于第二种操作，状态转移方程为

\[f[i][j]=min(f[i][j],f[i+1][j-1]+1)\]

注意当左右端点值相等的时候需要特判长度，长度不为2则初始化去掉两端点，若为2则初始化为0。（最后这个点坑了我10分）

代码

#include <bits/stdc++.h>

using namespace std;

namespace StandardIO {

    template<typename T>inline void read (T &x) {
        x=0;T f=1;char c=getchar();
        for (; c<'0'||c>'9'; c=getchar()) if (c=='-') f=-1;
        for (; c>='0'&&c<='9'; c=getchar()) x=x*10+c-'0';
        x*=f;
    }

    template<typename T>inline void write (T x) {
        if (x<0) putchar('-'),x*=-1;
        if (x>=10) write(x/10);
        putchar(x%10+'0');
    }

}

using namespace StandardIO;

namespace Project {
    
    const int N=3030;
    
    int n;
    int a[N];
    int dp[N][N];

    inline void MAIN () {
        read(n);
        memset(dp,127,sizeof(dp));
        for (register int i=1; i<=n; ++i) {
            read(a[i]),dp[i][i]=0;
        }
        for (register int len=2; len<=n; ++len) {
            for (register int l=1,r; l+len-1<=n; ++l) {
                r=l+len-1;
                if (a[l]==a[r]&&l+1<=r-1) dp[l][r]=dp[l+1][r-1];
                if (a[l]==a[r]&&len==2) dp[l][r]=0;
                dp[l][r]=min(dp[l][r],min(dp[l][r-1],dp[l+1][r])+1);
                dp[l][r]=min(dp[l][r],dp[l+1][r-1]+1);
            }
        }
        write(dp[1][n]);
    }
    
}

int main () {
//  freopen(".in","r",stdin);
//  freopen(".out","w",stdout);
    Project::MAIN();
}