洛谷 P2466 [SDOI2008] Sue的小球

题目描述

Sue和Sandy最近迷上了一个电脑游戏，这个游戏的故事发在美丽神秘并且充满刺激的大海上，Sue有一支轻便小巧的小船。然而，Sue的目标并不是当一个海盗，而是要收集空中漂浮的彩蛋，Sue有一个秘密武器，只要她将小船划到一个彩蛋的正下方，然后使用秘密武器便可以在瞬间收集到这个彩蛋。然而，彩蛋有一个魅力值，这个魅力值会随着彩蛋在空中降落的时间而降低，Sue要想得到更多的分数，必须尽量在魅力值高的时候收集这个彩蛋，而如果一个彩蛋掉入海中，它的魅力值将会变成一个负数，但这并不影响Sue的兴趣，因为每一个彩蛋都是不同的，Sue希望收集到所有的彩蛋。

然而Sandy就没有Sue那么浪漫了，Sandy希望得到尽可能多的分数，为了解决这个问题，他先将这个游戏抽象成了如下模型：

以Sue的初始位置所在水平面作为x轴。

一开始空中有N个彩蛋，对于第i个彩蛋，他的初始位置用整数坐标（xi, yi）表示，游戏开始后，它匀速沿y轴负方向下落,速度为vi单位距离/单位时间。Sue的初始位置为(x0, 0)，Sue可以沿x轴的正方向或负方向移动，Sue的移动速度是1单位距离/单位时间，使用秘密武器得到一个彩蛋是瞬间的，得分为当前彩蛋的y坐标的千分之一。

现在，Sue和Sandy请你来帮忙，为了满足Sue和Sandy各自的目标，你决定在收集到所有彩蛋的基础上，得到的分数最高。

输入格式

第一行为两个整数N, x0用一个空格分隔，表示彩蛋个数与Sue的初始位置。

第二行为N个整数xi，每两个数用一个空格分隔，第i个数表示第i个彩蛋的初始横坐标。

第三行为N个整数yi，每两个数用一个空格分隔，第i个数表示第i个彩蛋的初始纵坐标。

第四行为N个整数vi，每两个数用一个空格分隔，第i个数表示第i个彩蛋匀速沿y轴负方向下落的的速度。

输出格式

一个实数，保留三位小数，为收集所有彩蛋的基础上，可以得到最高的分数。

输入输出样例

输入

输出

0.000

大体思路

首先%%% Bartholomew大佬和他的题解

然后看到需要计算最高分数，还有一些限制条件，首先想到dp

方程dp[1][i][j]表示接完i到j的蛋后在j的位置所得分数，dp[0][i][j]则代表接完后在i位置所得分数

因为每一次接完时间不同，其他蛋掉落高度不同没有办法继续向下转移，所以经过大佬启发，想到每次的dp值就直接算上其他蛋在接i到j的时间里损失的分数，这样一来就方便进行转移了！！！

首先是dp[0][i][j]，因为他在i的位置，所以它一定由dp[0/1][i+1][j]转移过来，再减去其他球的速度之和乘上时间（也就是到i球的时间），其中的速度之和可以用前缀和预处理出来。

然后dp[1][i][j]同理

最后答案取dp[0][1][n]与dp[1][1][n]的最大值

转移方程：
dp[0][i][j] = max(dp[0][i+1][j] - (a[i+1].x - a[i].x) * (其他球速度之和)， dp[1][i+1][j] - (a[j].x - a[i].x) * (其他球速度之和))

dp[1][i][j] = max(dp[0][i][j-1] - (a[j].x - a[i].x) * (其他球速度之和)， dp[1][i][j-1] - (a[j].x - a[j-1].x) * (其他球速度之和))

PS：为了保险起见，所有坐标减法建议加上绝对值，还有别忘了答案是原来得分的千分之一

附上代码：

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <iostream>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#include <cmath>
using namespace std;
#define MAXN 100100
int n, m, cnt, sum[1100], dp[2][1100][1100];
struct node
{
	int x, y, v;
}a[MAXN];
bool cmp(node x, node y)
{
	return x.x < y.x;
}
int main()
{
	scanf("%d%d",&n,&a[0].x);
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i].x);
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i].y);
	for(int i=1;i<=n;i++) scanf("%d",&a[i].v);
	sort(a+1,a+n+1,cmp); 
	for(int i=1;i<=n;i++) sum[i] = sum[i-1] + a[i].v;
	for(int i=1;i<=n;i++) dp[0][i][i] = dp[1][i][i] = a[i].y - sum[n] * abs(a[i].x - a[0].x);//, printf("%d\n",dp[0][i][i]);
	//就一个球的话需要从初始位置走过去 
	for(int len = 2;len<=n;len++)
	{
		for(int i=1;i<=n-len+1;i++)
		{
			int j = i+len-1;
			dp[0][i][j] = max(dp[1][i+1][j] - abs(a[j].x-a[i].x) * (sum[i] + sum[n] - sum[j]), dp[0][i+1][j] - abs(a[i+1].x - a[i].x) * (sum[i] + sum[n] - sum[j])) + a[i].y;
			dp[1][i][j] = max(dp[1][i][j-1] - abs(a[j].x-a[j-1].x) * (sum[i-1] + sum[n] - sum[j-1]), dp[0][i][j-1] - abs(a[j].x - a[i].x) * (sum[i-1] + sum[n] - sum[j-1])) + a[j].y;
		}//sum为前缀和统计答案，计算答案 
	}
	int Max = max(dp[0][1][n], dp[1][1][n]);
	printf("%.3lf\n",(double)Max * 0.001);
	
	return 0;
}