POI2008 Mafia

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题目大意：

有n个人，每一个人有一把手枪。一开始，所有的人都选定一个人瞄准(有可能瞄准自己)。然后他们按照某一个顺序开枪，且任意时刻只有一个人开枪。因此，对于不同的开枪顺序，最后死掉的人也不同。问最后死亡人数的最小和最大可能值。

( $nle 10^6$ )

题解：

首先很容易看出，图是一个基环外向树，那么我们就可以借助一些基环外向树的性质来解题了。

对于最大的可能人数，我们比较好得到。只要让存活人数最少就可以了，那么就让那些一定不会死的人活下来，其他人都可以杀掉。

不会死的人有两种：

1. 入度为0的人。由于没有人拿枪瞄准他们，显然不会死。
2. 当一个基环外向树没有”树枝”，而只有中间那一个环时，我们没有办法将环上的人全部杀完，总要留下一个。留下的那个就可以不用死。(中间的环不能是自环，不然当然可以把环上的人杀完)

利用拓扑排序随便搞一下，这部分就可以解决了。

接下来看看最小的可能人数：

一个人会不会死关键看是否有一个没死的人拿枪指着他。

也就是说，如果有一个人没死，那么被他指的人一定会死。

首先，入度为零的人，一定不会死，但是被他指的人全都会死。

为了让活着的人尽量多，我们不妨让死了的人都不开枪。

那么对于一个必死的人，他所瞄准的人都少了一次被杀死的机会，可以把它们的入度减一。

如果入度减为了零，说明所有的威胁都被排除，此人已经死不了了。

由此，我们可以把基环外向树上的”树枝”全部清理掉。

对于留下的环，我们从环上任意一个人开始，让他死，那么环也就可以流动起来了。

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其实最小值也可以用树形dp来写。

题目转化一下就可以变为：

我们把基环外向树的边都变为双向的。然后在树上取一些点(表示这些点活着)，且两个被取的点不能相邻，最大化取的点的数量。

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Code：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63

#include<stdio.h> #include<string.h> #include<iostream> #include<algorithm> using namespace std; void (int&res){ res= 0; char c; while(c=getchar(),c< 48); do res=res* 10+(c& 15); while(c=getchar(),c> 47); } const int N= 1000005; int n,aim[N],cnt[N],ans; bool used[N]; void work(int p,int c){ if(used[p]) return; used[p]= true; ans+=c; if(!(--cnt[aim[p]])||c)work(aim[p],c^ 1); } int solve_min(){ ans= 0; memset(cnt, 0, sizeof(cnt)); memset(used, 0, sizeof(used)); for( int i= 1;i<=n;i++)cnt[aim[i]]++; for( int i= 1;i<=n;i++) if(!cnt[i])work(i, 1); for( int i= 1;i<=n;i++)work(i, 0); return n-ans; } queue< int>que; void check_loop(int p){ bool flag= false; for( int pre=p;flag|=used[p],aim[p]!=pre;cnt[aim[p]]--,p=aim[p]); if(!flag)ans++; } int solve_max(){ ans= 0; memset(cnt, 0, sizeof(cnt)); memset(used, 0, sizeof(used)); for( int i= 1;i<=n;i++)cnt[aim[i]]++; while(!que.empty())que.pop(); for( int i= 1;i<=n;i++) if(!cnt[i])que.push(i),ans++; while(!que.empty()){ int p=que.front();que.pop(); if(!(--cnt[aim[p]]))que.push(aim[p]); else used[aim[p]]= true; } for( int i= 1;i<=n;i++) if(cnt[i]&&i!=aim[i])check_loop(i); return n-ans; } int solve(){ printf( "%d %dn",solve_min(),solve_max()); return 0; } int main(){ Rd(n); for( int i= 1;i<=n;i++)Rd(aim[i]); return solve(); }

原文:大专栏  POI2008 Mafia