cf739E Gosha is hunting (flows)

739E

有$a$个普通球，$b$个超级球，有$n$个要捕捉的宝可梦，对于第$i$个宝可梦普通球的捕捉概率是$p_i$，超级球的捕捉概率是$u_i$，每种球只能扔一个到同一个宝可梦，同一个宝可梦可以被扔两种球。然后问在最优策略下捕捉个数的期望

考虑概率$dp$，发现状态无法简化到$n^2$级别，原来不是dp

假定每个宝可梦只能被扔一个球，那就是个匹配问题了，设$A$为普通球，$B$为超级球，源点向$A$,$B$连容量为球的个数，花费为$0$的边，$A,B$分别向每个精灵连容量为$1$，花费为$p_i$或者$u_i$的边，然后每个精灵向汇点连容量为$1$，费用为$0$的边，最大费用流的费用即为答案。

由于一个精灵能同时被扔两个球那么他被扔两个球时，捕捉的概率是$1-(1-p_i)times (1-u_i)$，化简得$p_i+u_i-p_i times u_i$，这样其实相当于$A,B$同时有容量为$1$的流流过这个精灵，如果没有$p_i times u_i$则可以每个精灵向汇点连两条边，每条边容量为$1$并且花费为$0$，然而处理这个$p_i times u_i$可以考虑把两条边中其中一条的费用改为$-p_i times u_i$，因为最大费用流跑最长路的时候肯定优先走$0$花费的那条，再走$-p_i times u_i$的这条，而走两条当且仅当两种球都扔向同一个精灵的时候，此时费用恰好和为$p_i+u_i-p_i times u_i$，得证。

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using namespace std; const double eps= 1e-8; const int maxn= 2000+ 5; int n,a,b; struct { int to; double cost; int cap,rev; edge( int to= 0, double cost= 0, int cap= 0, int rev= 0): to(to),cost(cost),cap(cap),rev(rev) {} }; vector<edge> g[maxn]; void addedge(int from,int to,int cap,double cost) { cost=-cost; g[from].push_back(edge(to,cost,cap,g[to].size())); g[to].push_back(edge(from,-cost, 0,g[from].size() -1)); } double p[maxn],u[maxn]; int S,T,A,B; #define MP make_pair bool inque[maxn]; double dis[maxn]; int preve[maxn],prevv[maxn]; queue< int > q; double spfa() { for( int i=S;i<=B;i++) dis[i]= 1e60,inque[i]= false; dis[S]= 0;inque[S]= true; while(!q.empty()) q.pop(); q.push(S); memset(prevv, 0, sizeof(prevv)); memset(preve, 0, sizeof(preve)); while(!q.empty()) { int u=q.front();q.pop();inque[u]= false; for( int i= 0;i<( int)g[u].size();i++){ edge &e=g[u][i]; if(e.cap && dis[e.to]-(dis[u]+e.cost)>eps) { dis[e.to]=dis[u]+e.cost; preve[e.to]=i,prevv[e.to]=u; if(!inque[e.to]){ inque[e.to]= true; q.push(e.to); } } } } if(dis[T]>= 1e60) return 0; int gap=INT_MAX; for( int i=T;i!=S;i=prevv[i]) gap=min(gap,g[prevv[i]][preve[i]].cap); for( int i=T;i!=S;i=prevv[i]){ edge &e=g[prevv[i]][preve[i]]; e.cap-=gap; g[i][e.rev].cap+=gap; } return dis[T]*( double)gap; } double MaxcostMaxflow() { double res= 0,ret= 0; while((res=spfa())!= 0) ret+=res,res= 0; return ret; } int main() { scanf( "%d%d%d",&n,&a,&b); for( int i= 1;i<=n;i++) scanf( "%lf",&p[i]); for( int i= 1;i<=n;i++) scanf( "%lf",&u[i]); S= 0,T=n+ 1,A=n+ 2,B=n+ 3; addedge(S,A,a, 0),addedge(S,B,b, 0); for( int i= 1;i<=n;i++) addedge(A,i, 1,p[i]),addedge(B,i, 1,u[i]),addedge(i,T, 1, 0),addedge(i,T, 1,-p[i]*u[i]); printf( "%.4lfn",-MaxcostMaxflow()); return 0; }

原文:大专栏  cf739E Gosha is hunting (flows)