emmmmm， 在我们学习树状数组之前， 我们应该知道lowbit(n)运算， lowbit(n)定义为非负整数n在二进制下“最低位的1及后面所有的0”构成的数值， 例如n = 10的二进制表示为\((1010)_2\)，则\(lowbit(n) = 2 = (10)_2\), 显然可知
\[lowbit(n) = n \And (\sim n +1) = n \And (-n)\]
所以我们把一个序列分成\(log(x)\)小区间，
while(x > 0) {
printf("[%d %d]\n", x - (x & -x) + 1, x);
x -= x & -x;
}树状数组就是基于上述思想的数据结构， 其基本用途是维护序列的前缀和。对于给定的序列a， 我们建立一个数组c， 其中c[x]保存序列a的区间[x - lowbit(x) + 1, x]中所有数的和， 及\(\sum^x_{x - lowbit(x) + 1}a[i]\)
那我们就看树状数组最基本的操作吧
1.单点修改， 区间查询
题目描述
如题，已知一个数列，你需要进行下面两种操作：
1.将某一个数加上x
2.求出某区间每一个数的和
输入格式
第一行包含两个整数N、M，分别表示该数列数字的个数和操作的总个数。
第二行包含N个用空格分隔的整数，其中第i个数字表示数列第i项的初始值。
接下来M行每行包含3个整数，表示一个操作，具体如下：
操作1： 格式：1 x k 含义：将第x个数加上k
操作2： 格式：2 x y 含义：输出区间[x,y]内每个数的和
输出格式
输出包含若干行整数，即为所有操作2的结果。
对于查询1~x的前缀和， 我们按照刚才提出的方法， 应该求出x二进制表示中每个等于1的位， 把[1, x]分成\(log(n)\)个小区间， 而每个小区间和都已经保存在数组c中。所以把上边的代码稍加改写即可在\(log(n)\)的时间内查询前缀和：
inline int ask(int x) {
int ans = 0;
for(; x > 0; x -= x & -x) ans += c[x];
return ans;
} 当然， 若要查询区间[l, r]中所有数的和， 只需要计算\(ask(r)-ask(l - 1)\)
对于单点修改， 一个数的改变会影响c[x]即其所有祖先节点保存的"区间和"包括a[x]，而任意一个节点的祖先最多有\(log(n)\)个， 我们逐一对它们的c值更新即可。
inline void add(int x, int k) {
for(; x <= n; x += x & -x) c[x] += k;
}在执行所有操作之前， 我们需要对树状数组进行初始化--针对原始序列a构造一个树状数组
为了简便， 我们一边初始的方法是， 每读入一个a[i], 执行add(i, a[i])的操作， 时间复杂度是\(O(nlogn)\)， 通常这种方法已经足够。
还有一种更高效的方法， 用前缀和的方式直接更新c[x]， 时间复杂度为\(O(n)\)， 不过用这种方法需要多开一个前缀和数组
for(int i = 1; i <= n; ++i) {
read(a[i]);
add(i, a[i]);
} for(int i = 1; i <= n; ++i) {
read(a[i]);
sum[i] = sum[i - 1] + a[i];
}
for(int i = 1; i <= n; ++i) {
c[i] = sum[i] - sum[i - (i & -i)];
}2.区间查询， 单点修改
题目描述
如题，已知一个数列，你需要进行下面两种操作：
1.将某区间每一个数数加上x
2.求出某一个数的值
输入格式
第一行包含两个整数N、M，分别表示该数列数字的个数和操作的总个数。
第二行包含N个用空格分隔的整数，其中第i个数字表示数列第i项的初始值。
接下来M行每行包含2或4个整数，表示一个操作，具体如下：
操作1： 格式：1 x y k 含义：将区间[x,y]内每个数加上k
操作2： 格式：2 x 含义：输出第x个数的值
输出格式
输出包含若干行整数，即为所有操作2的结果。