$SCOI2009\ windy$数数位$dp$

$Sol$

数位$dp$常规套路题.

$dp[i][j]$表示从低位到高位填到第$i$位且第$i$位的数字为$j$的方案数.答案就是$sol(r)-sol(l+1).$这里$dp$的过程十分简单,一般出错的也就是计算小于等于$x$的$windy$数,所以这里简述一下这个流程:

首先是预处理出$x$的位数$ct$,$a[i]$表示数$x$从低到高第$i$位的数字是多少,然后累计第一种安全态的答案$as+=\sum _{i=1}^{ct-1}\sum _{j=1}^{9}f[i][j]$.

接着累计第二种安全态的答案,也就是第$ct$位(从低到高)的数小于$a[ct]$的,$as+=\sum_{j=1}^{a[ct]-1}f[ct][j]$.

最后也就是最容易出错的地方便是统计危险态的答案.假设当前填到第$i$位且$i$到$ct$的数字都和$x$一样,那么第$i-1$位上填的数就有两个限制,一是要小于$a[i-1]$,还有就是要与$a[i]$的差的绝对值要大于等于$2$.

会发现上面的统计有两个漏洞,一是如果数$x$是$windy$数,那么会少算一个,这个问题很好解决,判断一下就好.令一个问题是假设当前填到$i$,且$abs(a[i]-a[i-1])<=2$,那么下一位就不能填$a[i-1]$,那么也就不用继续统计危险态的答案了,直接$break$掉.

$Code$

Code

#include<bits/stdc++.h>
#define il inline
#define Ri register int
#define go(i,a,b) for(Ri i=a;i<=b;++i)
#define yes(i,a,b) for(Ri i=a;i>=b;--i)
#define e(i,u) for(Ri i=b[u];i;i=a[i].nt)
#define mem(a,b) memset(a,b,sizeof(a))
#define ll long long
#define db double
#define inf 2147483647
using namespace std;
il int read()
{
    Ri x=0,y=1;char c=getchar();
    while(c<'0'||c>'9'){if(c=='-')y=-1;c=getchar();}
    while(c>='0'&&c<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+c-'0';c=getchar();}
    return x*y;
}
int f[20][10],a[20];
il void init()
{
    go(i,0,9)f[1][i]=1;
    go(i,2,10)
    go(j,0,9)
    go(k,0,9)
    if(abs(j-k)>=2)f[i][j]+=f[i-1][k];
}
il int sol(Ri x)
{
    if(!x)return 0;
    Ri qvq=x,ct=0,ret=0;bool fl=1;
    while(qvq){a[++ct]=qvq%10;qvq/=10;}
    go(i,1,ct-1)
    go(j,1,9)ret+=f[i][j];
    go(i,1,a[ct]-1)ret+=f[ct][i];
    yes(i,ct,2)
    {
    go(j,0,a[i-1]-1)
    {
        if(abs(j-a[i])>=2)ret+=f[i-1][j];
    }
    if(abs(a[i]-a[i-1])<2){fl=0;break;}
    }
    return ret+fl;
}
int main()
{
    init();
    Ri l=read(),r=read();
    printf("%d\n",(sol(r)-sol(l-1)));
    return 0;
}

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