FHJ学长的心愿 QDUOJ 数论

FHJ学长的心愿

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题意

给你一个数N，让你求在\[C^{0}_{n} \ C^{1}_{n}\ C^{2}_{n}\ \dots \ C^{n}_{n}\]中有几个组合数是奇数。

解题思路

出题人CX学长给的题解：

本题实际上是考察的Lucas定理。

Lucas定理:(写程序的时候后半部分可以递归求)

设\(P\)为素数，则：

\[C^{m}_{n}(\% P)=C^{m\%P}_{n\%P}∗C^{⌊m/P⌋}_{⌊n/P⌋}(\%P)\]

一句话概括，就是一个组合数可以拆成\(P\)进制下的乘积，如下：（与上式本质相同）

\[n = n_{k}*p^{k}+n_{k-1}*p^{k-1}+...+n_{1}*p+n_0\]

\[m = m_{k}*p^{k}+m_{k-1}*p^{k-1}+...+m_{1}*p+m_0\]

则（上式实际上也就是把\(n,m\)分解成了\(P\)进制的形式）：

\[C^{m}_{n}(\% P)=C^{m_{k}}_{n_{k}}∗C^{m_{k-1}}_{n_{k-1}}*...*C^{m_{0}}_{n_{0}}(\%P)\]

当\(P = 2\)的时候，其实就只有四种情况：\(，，，，，C_1^0， C_0^1， C_0^0， C_1^1\)，其中只有\(C_0^1 =0\)，其余都是1。

那么对于这个题，我们实际上要找的就是在\(C_n^0...C_n^n\)中有多少个 \(C_n^m\)满足\(C_n^m\%2=1\)。

对于给定的\(n\)，我们去考虑\(m\)，如果对应\(n\)的二进制位为0，那么\(m\)对应的二进制位只能为0（因为\(C_0^1 =0\)），如果对应\(n\)的二进制位为1，那么\(m\)对应的二进制位可以为1也可以为0。（这样也保证了统计的\(m\leq n\)）。

所以答案就是n的二进制中1的位置取0或1的所有可能。即\(2^{cnt}\)，\(cnt\)为\(n\)的二进制中1的个数。

这个题有人竟然通过找规律找出来的，真强。

代码实现

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
int main() {
    int n;
    while (scanf("%d", &n) != EOF) {
        int cnt = 0;
        while (n) {
            if (n & 1) cnt++;
            n >>= 1;
        }
        printf("%d\n", 1 << cnt);
    }
    return 0;
}