题目描述
给出\(n\)和\(m\)以及\(k\)个质数，设\(M\)为$\prod^{k}_{i=1}p_i \(，\)p_i\(互不相同，求\)C(n,m)%M$
Input
第一行一个\(T\)表示数据组数。
对于每组数据第一行\(n\),\(m\),\(k\)。
第二行\(k\)个质数，其互不相同。
\(1≤m≤n≤10^{18}\)
\(1≤k≤10\)
\(p_i≤10^5\)
Output
对于每组数据输出答案。
Sample Input
1
9 5 2
3 5Sample Output
6扩展卢卡斯定理即可。
首先，对于一个模数为质数的的组合数，我们可以直接利用卢卡斯定理。
\(C(n,m)\%p=C(n/p,m/p)*C(n\%p,m\%p)\%p\)。
可是题目中给出是一个合数，不是质数，那咋办呀？
我们发现模数最多由不超过\(10\)个不同的质数组成，对于一个\(C(n,m)\)，我们可以直接求出对于每个质数的取模结果，设第\(i\)个结果为\(res_i\)。
则我们就有一个方程组
\[ \begin{cases} C(n,m)=res_1\%p_1 \\ C(n,m)=res_2\%p_2 \\ ...... \\ C(n,m)=res_k\%p_k \end{cases} \]
我们直接利用中国剩余定理合并即可。
#include <cstdio>
#include <iostream>
using namespace std;
#define int long long
#define reg register
#define clr(a,b) memset(a,b,sizeof a)
#define Mod(x) (x>=mod)&&(x-=mod)
#define abs(a) ((a)<0?-(a):(a))
#define debug(x) cerr<<#x<<"="<<x<<endl;
#define debug2(x,y) cerr<<#x<<"="<<x<<" "<<#y<<"="<<y<<endl;
#define debug3(x,y,z) cerr<<#x<<"="<<x<<" "<<#y<<"="<<y<<" "<<#z<<"="<<z<<endl;
#define rep(a,b,c) for(reg int a=(b),a##_end_=(c); a<=a##_end_; ++a)
#define ret(a,b,c) for(reg int a=(b),a##_end_=(c); a<a##_end_; ++a)
#define drep(a,b,c) for(reg int a=(b),a##_end_=(c); a>=a##_end_; --a)
#define erep(i,G,x) for(int i=(G).Head[x]; i; i=(G).Nxt[i])
#pragma GCC optimize(2)
inline int Read(void) {
int res=0,f=1;
char c;
while(c=getchar(),c<48||c>57)if(c=='-')f=0;
do res=(res<<3)+(res<<1)+(c^48);
while(c=getchar(),c>=48&&c<=57);
return f?res:-res;
}
template<class T>inline bool Min(T &a, T const&b) {
return a>b?a=b,1:0;
}
template<class T>inline bool Max(T &a, T const&b) {
return a<b?a=b,1:0;
}
const int N=25,M=1e5+5;
int n,m,k,res[N],mod[N],a[N],pos[N];
int Exgcd(int a, int b, int &x, int &y) {
if(!b) {
x=1,y=0;
return a;
}
int g=Exgcd(b,a%b,y,x);
y-=a/b*x;
return g;
}
inline int Excrt(void) {
int M=mod[1],ans=res[1],x,y;
rep(i,2,k) {
int g=Exgcd(M,mod[i],x,y);
if((res[i]-ans)%g)return -1;
x*=(res[i]-ans)/g,y=mod[i]/g,x=(x%y+y)%y;
ans=M*x+ans,M=M/g*mod[i],ans%=M;
}
int z=(ans%M+M)%M;
return z;
}
int Mod;
int Pow(int x,int y) {
int res=1;
while(y) {
if(y&1)res=(res*x)%Mod;
x=(x*x)%Mod,y>>=1;
}
return res;
}
inline int C(int x,int y) {
if(y>x)return 0;
int up=1,down=1;
rep(i,x-y+1,x)up=up*i%Mod;
rep(i,1,y)down=down*i%Mod;
return up*Pow(down,Mod-2)%Mod;
}
int Lucas(int x,int y) {
if(!y)return 1;
return Lucas(x/Mod,y/Mod)*C(x%Mod,y%Mod)%Mod;
}
inline void _main(void) {
int T=Read(),Case=0;
while(T--) {
n=Read(),m=Read(),k=Read();
rep(i,1,k) Mod=mod[i]=Read(),res[i]=Lucas(n,m);
printf("%lld\n",Excrt());
}
}
signed main() {
_main();
return 0;
}