题目描述
开会，是对所有人时间的浪费，是对集体的谋杀。
苟利国家生死以，岂因祸福避趋之。
小$G$为了备战高考，沉迷于诗歌鉴赏。我们可以将一首诗作看做一个$n$行$m$列的矩阵，每个字看做一个$[1,k]$范围内的整数。现在小$G$随机生成一首诗作，即诗作中的每个字都是$[1,k]$范围内随机生成的整数。诗作中的一个字为炼字当且仅当该字所在行的其他字都比他小且该字所在列的其他字都比他小。对于一首随机生成的诗作，定义诗作的精彩度为诗作中炼字的个数。定义$f_i$为精彩度为$i$的诗作的方案数目，显然，$\sum \limits_{i=0}^{nm}f_i=nm$。现需要你求出$\sum \limits_{i=0}^{nm}i\times f_i \mod({10}^9+7)$。
输入格式
一行三个整数$n,m,k$。
输出格式
一行一个整数表示答案。
样例
样例输入：
2 2 2
样例输出：
8
数据范围与提示
样例解释：
$f_0=10,f_1=4,f_2=2,f_3=f_4=0$。
数据范围：
对于所有数据，$2\leqslant n,m\leqslant {10}^9,1\leqslant k\leqslant {10}^6$。
题解
考虑$\sum \limits_{i=0}^{nm}i\times f_i$的意义：所有方案中炼字的个数之和。
统计答案时可以考虑$[1,k]$每个字对答案的贡献，即每个字在多少种方案中成为炼字。在方格的一个确定位置$(x,y)$，字符$i$对答案的贡献（$(x,y)$位置的数是$i$且$i$是炼字的方案数）是${(i−1)}^{n−1}{(i − 1)}^{m−1}k^{nm−n−m+1}$。由于诗作中的所有位置都是等价的，那么最后的答案就是
$nm\sum \limits_{i=1}^k {(i−1)}^{n−1} {(i− 1)}^{m−1} k^{nm−n−m+1}$。
时间复杂度：$\Theta(k)$。
期望得分：$100$分。
实际得分：$100$分。
代码时刻
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long n,m,k;
long long ans;
long long qpow(long long x,long long y)
{
long long res=1;
while(y)
{
if(y&1)res=res*x%1000000007;
x=x*x%1000000007;
y>>=1;
}
return res;
}
int main()
{
scanf("%lld%lld%lld",&n,&m,&k);
for(int i=1;i<=k;i++)ans=(ans+qpow(i-1,n+m-2)*qpow(k,n*m-n-m+1)%1000000007)%1000000007;
ans=ans*n%1000000007*m%1000000007;
printf("%lld",ans);
return 0;
}
rp++